Закон Кулона й електричне поле
- Закон Кулона
- F = k·|q1q2|/r²
- Поле точкового заряду
- E = k·|q|/r²
- Стала
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Сила, що діє на заряд
- F = q·E
Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Послідовні й паралельні резистори
- Послідовне з’єднання резисторів
- Req = R1 + R2 + …
- Паралельне з’єднання резисторів
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Два паралельно
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Закон Ома
- V = I·R
- Потужність
- P = V·I = I²R = V²/R
Метод
- Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
- Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Перемальовуйте коло після кожного кроку.
- Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.
Перехідні процеси RC і RL
- Стала часу
- τ = RC | τ = L/R
- Відгук
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Конденсатор на постійному струмі
- розрив; vC не може змінитися стрибком
- Котушка на постійному струмі
- коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
- Усталений режим
- t ≈ 5τ
Метод
- Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
- Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
- Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
- Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Магнітні поля та індукція
- Довгий прямий провідник
- B = μ0I/(2πr)
- Центр плоскої котушки
- B = μ0NI/(2R)
- Довгий соленоїд
- B = μ0nI, n = N/L
- Стала
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Сила, що діє на провідник
- F = BIL·sin θ
- Сила, що діє на заряд
- F = |q|vB·sin θ
- Рух по колу
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Паралельні провідники
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Потік
- Φ = BA·cos θ
- Закон Фарадея
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Рухомий стрижень
- ε = BLv
- Генератор
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Індуктивність
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Взаємна індуктивність
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Селектор швидкостей і спектрометр
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Метод
- Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
- Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
- Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
- Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.
Повний опір і комплексні амплітуди
- Повні опори
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Кутова частота
- ω = 2πf
- Модуль і кут
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Закон Ома в комплексній формі
- V = I·Z
Метод
- Переведіть частоту: ω = 2πf.
- Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
- Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
- Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
2Задачі для практики
1.Закон Кулона й електричне полеСередня
Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +10 µC і +3 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 10 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = +3 µCr = 10 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 10 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.
q1 = 10 µCq2 = 5 µCq3 = 8 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.
V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.
V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 ΩR5 = 20 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.
Vs = 5 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 30 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 1000 ms.
Vs = 10 VR = 6,8 kΩC = 68 µFvC(0) = 30 Vt = 1000 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
Котушка з 25 витків, площею 80 cm² і опором 5 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0 Тл до 0,1 Тл за 50 мс. Знайдіть середній індукований струм I.
N = 25A = 80 cm²B: 0 T → 0,1 TΔt = 50 msR = 5 Ω
I = mA
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Коротку котушку з 50 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 1000 витків, довжиною 25 см і діаметром 5 см. Знайдіть їхню взаємну індуктивність M.
N1 = 1000N2 = 50l = 25 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
f0 = Hz
3Розчини
1.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: F = 37,98 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Заряд після дотику
q′ = (10 + 3)/2 = 6,5 µC
Нова сила
F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 37,98 N
Відповідь
F = 37,98 N
Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.
2.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: F = 321,6 N
Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.
Кожна сила, що діє на q₃
F1 = k·10·8 × 10⁻¹²/0,05² = 287,7 N
F2 = k·5·8 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N
Векторна сума
F = √(287,7² + 143,8²) = 321,6 N
Відповідь
F = 321,6 N
3.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: Req = 15,53 Ω
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R3 + R4 = 15 + 15 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 4·30/(4+30) = 3,529 Ω
Req = R1 + 3,529 = 12 + 3,529 = 15,53 Ω
Відповідь
Req = 15,53 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: Req = 10,21 Ω
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R5 + R6 = 20 + 2 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 6,875 Ω
R3 + 6,875 = 12,88 Ω
R2 ∥ 12,88 = 6,211 Ω
Req = R1 + 6,211 = 4 + 6,211 = 10,21 Ω
Відповідь
Req = 10,21 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,1224 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0,1515 A
Струм у заданий момент
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,1515·(1 − e−5/3,03) = 0,1224 A
Відповідь
i = 0,1224 A
6.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: vC = 12,3 V
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms
vC(t) = 10 + (30 − 10)·e−t/τ
Напруга в заданий момент
vC(1000) = 10 + (20)·e−1000/462,4 = 12,3 V
Відповідь
vC = 12,3 V
7.Магнітні поля та індукція
Відповідь: I = 80 mA
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Зміна потоку на виток
ΔΦ = (0,1 − 0)·0,008 = 0,0008 Wb
Середня ЕРС
ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0008/0,05 = 0,4 V
Струм
I = ε/R = 0,4/5 = 0,08 A
Відповідь
I = 80 mA
8.Магнітні поля та індукція
Відповідь: M = 493,5 µH
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Взаємна індуктивність
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·50·0,001963/0,25 = 493,5 µH
Відповідь
M = 493,5 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: I = 0,3964 A
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Повний опір
Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (125,2)²) = 126,1 Ω
Струм
Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.
I = V/|Z| = 50/126,1 = 0,3964 A
Відповідь
I = 0,3964 A
10.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: f0 = 339,3 Hz
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Резонанс
При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz
Відповідь
f0 = 339,3 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism