Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +5 µC і заряд −2 µC розташовані на відстані 50 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 25 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +5 µCq₂ = −2 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 3,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 8 cm, напруженість поля між ними 3100 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 3100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 50% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 15 VR₁ = 47 ΩR₂ = 10 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 20 см ковзає зі швидкістю 8 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,8 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 5 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть силу F, потрібну для підтримання сталої швидкості стрижня (тертя немає).

B = 0,8 TL = 20 cmv = 8 m/sR = 5 Ω

F = mN

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 200 витків, 15 см × 15 см, обертається зі швидкістю 300 об/хв в однорідному полі 0,4 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 200A = 15 cm × 15 cmB = 0,4 Tn = 300 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,007 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,25² = 719200 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,25² = 287680 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |719200 + 287680| = 1,007 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 1,007 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 1,424 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,08/3,5 × 10⁷ = 2,286 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3100/9,109 × 10⁻³¹ = 5,452 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·5,452 × 10¹⁴·(2,286 × 10⁻⁹)² = 0,001424 m = 1,424 mm

Відповідь

y = 1,424 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 17,5 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 15 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 10·30/(10+30) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 10 + 7,5 = 17,5 Ω

Відповідь

R_eq = 17,5 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1196 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 6 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 4,5 Ω

R₃ + 4,5 = 29,5 Ω

R₂ ∥ 29,5 = 7,468 Ω

R_eq = R₁ + 7,468 = 30 + 7,468 = 37,47 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/37,47 = 0,1601 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,1601·30 = 1,196 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,196/10 = 0,1196 A

Відповідь

I_R2 = 0,1196 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,1475 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Виразіть час

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,2128·ln(0,5) = 0,1475 ms

Відповідь

t = 0,1475 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,2674 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 15/47 = 0,3191 A

i(∞) = 15/(47 + 10) = 0,2632 A

τ = L/R = 22/57 = 0,386 ms

i(t) = 0,2632 + (0,3191 − 0,2632)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,2632 + (0,05599)·e^−1/0,386 = 0,2674 A

Відповідь

i = 0,2674 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F = 40,96 mN

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,8·0,2·8 = 1,28 V

Струм

I = ε/R = 1,28/5 = 0,256 A

Гальмівна сила

Правило Ленца: сила, що діє на індукований струм, протидіє руху.

F = BIL = 0,8·0,256·0,2 = 0,04096 N

Відповідь

F = 40,96 mN

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 39,99 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,0225 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 200·0,4·0,0225·31,42 = 56,55 V

Діюче значення

E_rms = 56,55/√2 = 39,99 V

Відповідь

E_rms = 39,99 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 76,41 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (124,1)²) = 127,6 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(124,1/30) = 76,41°

Відповідь

φ = 76,41°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 50,33 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·100·10⁻⁶)) = 50,33 Hz

Відповідь

f₀ = 50,33 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism