Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −8 µC ліворуч, −8 µC праворуч на відстані 20 cm і +5 µC між ними, на відстані 12 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −8 µCq_R = −8 µCq_M = +5 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 10 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 10 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 10 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 1 ms.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 120 ms.

V_s = 12 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 120 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 20 см один від одного проводять струми 12 А і 12 А у протилежних напрямках. Знайдіть модуль магнітної індукції B у точці P посередині між ними.

I₁ = 12 AI₂ = 12 Ad = 20 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 1000 витків, довжину 20 см і діаметр 2 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 2 А.

N = 1000l = 20 cm⌀ = 2 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 31,22 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·8·5 × 10⁻¹²/0,12² = −24,97 N

F_R = +k·8·5 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

Результуюча сила

F = −24,97 + (56,19) = 31,22 N → |F| = 31,22 N

Відповідь

F = 31,22 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 262,7 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,05² = 215,8 N

F₂ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,06² = 149,8 N

Векторна сума

F = √(215,8² + 149,8²) = 262,7 N

Відповідь

F = 262,7 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 14,24 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 5·28/(5+28) = 4,242 Ω

R_eq = R₁ + 4,242 = 10 + 4,242 = 14,24 Ω

Відповідь

R_eq = 14,24 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,554 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 6 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3,2 Ω

R₃ + 3,2 = 15,2 Ω

R₂ ∥ 15,2 = 3,167 Ω

R_eq = R₁ + 3,167 = 20 + 3,167 = 23,17 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/23,17 = 1,554 A

Відповідь

I_R1 = 1,554 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 2,659 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/0,4545 = 2,659 V

Відповідь

v_L = 2,659 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 5,229 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 12·10/(3,3 + 10) = 9,023 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 10·22 = 220 ms

Розряджання

v_C(t) = 9,023·e^−120/220 = 5,229 V

Відповідь

v_C = 5,229 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 48 µT

Магнітне поле струмів: навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола (правило правої руки), і B = μ₀I/(2πr). У центрі плоскої колової котушки з N витків B = μ₀NI/(2R). Усередині довгого соленоїда поле однорідне, B = μ₀nI, де n = N/L витків на метр, незалежно від радіуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Працюйте в одиницях СІ (метри й ампери) і додавайте поля кількох джерел як вектори.

Поле кожного провідника в точці P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·12/0,1 = 24 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0,1 = 24 µT

Об’єднайте

B = B₁ + B₂ = 48 µT

Відповідь

B = 48 µT

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 3,948 mJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 1,974 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,001974·2² = 0,003948 J = 3,948 mJ

Відповідь

W = 3,948 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 76,59 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 100/80 = 1,25 A

I_X = V/X_C = 100/265,3 = 0,377 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,25² + 0,377²) = 1,306 A

Повний опір

|Z| = V/I = 100/1,306 = 76,59 Ω

Відповідь

|Z| = 76,59 Ω

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 35,59 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·100·10⁻⁶)) = 35,59 Hz

Відповідь

f₀ = 35,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism