Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −4 µC ліворуч, +6 µC праворуч на відстані 10 cm і +8 µC між ними, на відстані 4 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = +6 µCq_M = +8 µCr_L = 4 cmr_R = 6 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 4 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 6 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Провідник проводить струм угору по сторінці в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що діє на провідник.

I: угору по сторінціB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Протон проходить без відхилення крізь селектор швидкостей зі схрещеними полями E = 2 × 10⁴ В/м і B₁ = 0,2 Тл. Потім вона влітає в другу область лише з магнітним полем B₂ = 1 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r її траєкторії там.

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 TB₂ = 1 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 299,7 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·4·8 × 10⁻¹²/0,04² = −179,8 N

F_R = −k·6·8 × 10⁻¹²/0,06² = −119,9 N

Результуюча сила

F = −179,8 + (−119,9) = −299,7 N → |F| = 299,7 N

Відповідь

F = 299,7 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 135 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·6·4 × 10⁻¹²/0,04² = 134,8 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N

Векторна сума

F = √(134,8² + 7,192²) = 135 N

Відповідь

F = 135 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 20,75 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 15·21/(15+21) = 8,75 Ω

R_eq = R₁ + 8,75 = 12 + 8,75 = 20,75 Ω

Відповідь

R_eq = 20,75 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,496 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 8,87 Ω

R₃ + 8,87 = 14,87 Ω

R₂ ∥ 14,87 = 2,496 Ω

R_eq = R₁ + 2,496 = 4 + 2,496 = 6,496 Ω

Відповідь

R_eq = 6,496 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1736 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0,2206 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2206·(1 − e^−5/3,235) = 0,1736 A

Відповідь

i = 0,1736 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,3134 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 15/33 = 0,4545 A

i(∞) = 15/(33 + 33) = 0,2273 A

τ = L/R = 68/66 = 1,03 ms

i(t) = 0,2273 + (0,4545 − 0,2273)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,2273 + (0,2273)·e^−1/1,03 = 0,3134 A

Відповідь

i = 0,3134 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ліворуч

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

I: угору по сторінці, B: у площину сторінки

Напрямок сили

ліворуч

Відповідь

F: ліворуч

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,1044 cm

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0,2 = 100000 m/s

Радіус у другому полі

r = mv/(|q|B₂) = 0,001044 m = 0,1044 cm

Відповідь

r = 0,1044 cm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1779 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (280,3)²) = 281 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/281 = 0,1779 A

Відповідь

I = 0,1779 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,03434 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−286,9)²) = 291,2 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/291,2 = 0,03434 A

Відповідь

I = 0,03434 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism