Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++8 µC++10 µCP20 cm

Заряд +8 µC і заряд +10 µC розташовані на відстані 20 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +8 µCq2 = +10 µCr1 = 5 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
8 cm6 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +1 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 5 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 5 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 1 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 5 µCq2 = 1 µCq3 = 5 µCr13 = 8 cmr23 = 6 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​15 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩR4 = 25 ΩR5 = 6 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​20 Vt = 0R = 47 ΩL22 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 1 ms.

Vs = 20 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 150 ms.

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 8 Vt = 150 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
vI = ?

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим зі сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: зі сторінкивходить у поле
  1. 1за годинниковою стрілкою
  2. 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Bn = 900 rpm8 cm × 10 cmN = 50B = 0,5 T

Котушка з 50 витків, 8 см × 10 см, обертається зі швидкістю 900 об/хв в однорідному полі 0,5 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E0.

N = 50A = 8 cm × 10 cmB = 0,5 Tn = 900 rpm
E0 = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
120 V50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 10 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF

Послідовне RLC-коло має R = 10 Ω, L = 10 mH і C = 0,1 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF
Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,477 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |2,877 × 10⁷ − 3,996 × 10⁶| = 2,477 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 2,477 × 10⁷ N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 37,27 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,08² = 35,12 N
F2 = k·1·5 × 10⁻¹²/0,06² = 12,49 N

Векторна сума

F = √(35,12² + 12,49²) = 37,27 N

Відповідь

F = 37,27 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 23,33 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Req = R1 + 3,333 = 20 + 3,333 = 23,33 Ω

Відповідь

Req = 23,33 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,6455 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​25 ΩAR4​25 ΩBR6​15 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 6 + 15 = 21 Ω
R4 ∥ 21 = 11,41 Ω
R3 + 11,41 = 17,41 Ω
R2 ∥ 17,41 = 10,26 Ω
Req = R1 + 10,26 = 5 + 10,26 = 15,26 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/15,26 = 1,572 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,572·5 = 16,14 V
IR2 = VA/R2 = 16,14/25 = 0,6455 A

Відповідь

IR2 = 0,6455 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 2,362 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms
i(∞) = Vs/R = 20/47 = 0,4255 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−1/0,4681 = 2,362 V

Відповідь

vL = 2,362 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 9,78 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(150) = 10 + (−2)·e−150/68 = 9,78 V

Відповідь

vC = 9,78 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E0 = 18,85 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s
A = 0,008 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 50·0,5·0,008·94,25 = 18,85 V

Відповідь

E0 = 18,85 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −55,45 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−36,31)²) = 44,08 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−36,31/25) = −55,45°

Відповідь

φ = −55,45°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 31,62

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,01·0,1·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,01/(0,1·10⁻⁶)) = 31,62

Відповідь

Q = 31,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism