Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд +10 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 6 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = +10 µCr₁ = 6 cmr₂ = 4 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 5 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 8 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 15 ms, у mJ.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 15 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 12 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 6 V, рівно через 10 ms після старту. При R = 47 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 10 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Індукція поля зростає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: у площину сторінкиdB/dt > 0

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Дві котушки з індуктивностями 50 мГн і 50 мГн мають коефіцієнт зв’язку 0,9. Струм у першій котушці змінюється зі швидкістю 10 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в другій котушці.

L₁ = 50 mHL₂ = 50 mHk = 0,9di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 60 ΩC = 10 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,621 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,06² = 1,998 × 10⁷ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,04² = 5,619 × 10⁷ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,998 × 10⁷ − 5,619 × 10⁷| = 3,621 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 3,621 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 102,1 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,08² = 21,07 N

F₂ = k·8·5 × 10⁻¹²/0,06² = 99,89 N

Векторна сума

F = √(21,07² + 99,89²) = 102,1 N

Відповідь

F = 102,1 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,739 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω

R_eq = R₁ + 3,111 = 2 + 3,111 = 5,111 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/5,111 = 3,522 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 3,522·2 = 10,96 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,96/4 = 2,739 A

Відповідь

I_R2 = 2,739 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 2,191 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 21,06 Ω

R₂ ∥ 21,06 = 11,43 Ω

R_eq = R₁ + 11,43 = 5 + 11,43 = 16,43 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/16,43 = 2,191 A

Відповідь

I_R1 = 2,191 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 70,57 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1,091·(1 − e^−15/6,818) = 0,97 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·150·0,97² = 70,57 mJ

Відповідь

W = 70,57 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 0,307 µF

Потрібна стала часу

6 = 12·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(12/(12 − 6))

τ = 10/0,6931 = 14,43 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 14,43/47 = 0,307 µF

Відповідь

C = 0,307 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 0,45 V

Взаємна індуктивність

M = 0,9·√(50·50) = 45 mH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,045·10 = 0,45 V

Відповідь

ε = 0,45 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 3,017 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−64,91)²) = 76,24 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/76,24 = 3,017 A

Відповідь

I = 3,017 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,7105 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 52,53 − j19,8 Ω

Повний опір

Z = 15 + 52,53 − j19,8 = 67,53 − j19,8 Ω

|Z| = √(67,53² + 19,8²) = 70,38 Ω

Струм

I = V/|Z| = 50/70,38 = 0,7105 A

Відповідь

I = 0,7105 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism