Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +2 µC і заряд +1 µC розташовані на відстані 20 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCr₁ = 5 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 2 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 8 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

V_s = 12 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µF

τ = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 10 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 40 ms.

V_s = 24 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 10 Vt = 40 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Індукція поля зростає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: зі сторінкиdB/dt > 0

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 1500 витків, довжину 30 см і діаметр 2 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 3 А.

N = 1500l = 30 cm⌀ = 2 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

P = W

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 6,792 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |7,192 × 10⁶ − 399556| = 6,792 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 6,792 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 361,8 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·2·8 × 10⁻¹²/0,06² = 39,96 N

F₂ = k·8·8 × 10⁻¹²/0,04² = 359,6 N

Векторна сума

F = √(39,96² + 359,6²) = 361,8 N

Відповідь

F = 361,8 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,864 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 10·35/(10+35) = 7,778 Ω

R_eq = R₁ + 7,778 = 20 + 7,778 = 27,78 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/27,78 = 0,864 A

Відповідь

I_R1 = 0,864 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1561 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 2,4 Ω

R₃ + 2,4 = 6,4 Ω

R₂ ∥ 6,4 = 5,275 Ω

R_eq = R₁ + 5,275 = 15 + 5,275 = 20,27 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/20,27 = 0,8878 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,8878·15 = 4,683 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,683/30 = 0,1561 A

Відповідь

I_R2 = 0,1561 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 112,2 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·3,3/(3,3 + 3,3) = 1,65 kΩ

v_C(∞) = 12·3,3/(3,3 + 3,3) = 6 V

Стала часу

τ = R_th·C = 1,65·68 = 112,2 ms

Відповідь

τ = 112,2 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 14,49 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 24 + (10 − 24)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(40) = 24 + (−14)·e^−40/103,4 = 14,49 V

Відповідь

v_C = 14,49 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 13,32 mJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 2,961 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,002961·3² = 0,01332 J = 13,32 mJ

Відповідь

W = 13,32 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 0,06586 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 471,2 Ω, X_C = 14,47 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (456,8)²) = 467,6 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 12/467,6 = 0,02566 A

P = I²·R = 0,02566²·100 = 0,06586 W

Відповідь

P = 0,06586 W

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 59,37 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (46,92)²) = 61,65 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/61,65 = 3,731 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 3,731·15,92 = 59,37 V

Відповідь

V_C = 59,37 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism