Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +3 µC і заряд −10 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 20 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +3 µCq₂ = −10 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 3 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 8 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 80% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 15 VR = 100 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 5,69 V, рівно через 1000 ms після старту. При C = 47 µF знайдіть потрібний опір R.

V_s = 9 VV_th = 5,69 VT = 1000 msC = 47 µF

R = kΩ

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 40 см ковзає зі швидкістю 2,5 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,25 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 2,5 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть струм I.

B = 0,25 TL = 40 cmv = 2,5 m/sR = 2,5 Ω

I = mA

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 20 витків, 10 см × 10 см, обертається зі швидкістю 3600 об/хв в однорідному полі 0,1 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E₀.

N = 20A = 10 cm × 10 cmB = 0,1 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 5 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 5 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 1 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,922 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,2² = 674250 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |674250 + 2,247 × 10⁶| = 2,922 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 2,922 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 62,26 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·4·3 × 10⁻¹²/0,08² = 16,86 N

F₂ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N

Векторна сума

F = √(16,86² + 59,93²) = 62,26 N

Відповідь

F = 62,26 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5691 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω

R_eq = R₁ + 6,462 = 3 + 6,462 = 9,462 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9,462 = 1,057 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,057·3 = 6,829 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,829/12 = 0,5691 A

Відповідь

I_R2 = 0,5691 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,3079 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 5,053 Ω

R₃ + 5,053 = 20,05 Ω

R₂ ∥ 20,05 = 6,673 Ω

R_eq = R₁ + 6,673 = 15 + 6,673 = 21,67 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/21,67 = 0,4614 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,4614·15 = 3,079 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,079/10 = 0,3079 A

Відповідь

I_R2 = 0,3079 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 2,414 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 15/100 = 0,15 A

Виразіть час

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −1,5·ln(0,2) = 2,414 ms

Відповідь

t = 2,414 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 21,27 kΩ

Потрібна стала часу

5,69 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 5,69))

τ = 1000/1 = 999,7 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 999,7/47 = 21,27 kΩ

Відповідь

R = 21,27 kΩ

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 100 mA

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,25·0,4·2,5 = 0,25 V

Струм

I = ε/R = 0,25/2,5 = 0,1 A

Відповідь

I = 100 mA

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E₀ = 7,54 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,01 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 20·0,1·0,01·377 = 7,54 V

Відповідь

E₀ = 7,54 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,4794 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−96,32)²) = 104,3 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/104,3 = 0,4794 A

Відповідь

I = 0,4794 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 55,9 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·1·10⁻⁶) = 4472 rad/s

I = V/R = 5/20 = 0,25 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 4472·0,05 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 0,25·223,6 = 55,9 V

Відповідь

V_L = 55,9 V

Це в Q = 11,18 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism