Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +5 µC і заряд −8 µC розташовані на відстані 50 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 20 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +5 µCq₂ = −8 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 5 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 2 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 750 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µFt = 750 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 33 ΩR₂ = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається зі швидкістю 1 × 10⁶ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 0,2 T. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 0,2 T

r = cm

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 2000 витків, довжину 25 см і діаметр 2,5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 0,5 А.

N = 2000l = 25 cm⌀ = 2,5 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 100 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,923 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,2² = 1,124 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,3² = 799111 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |1,124 × 10⁶ + 799111| = 1,923 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 1,923 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 106 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

F₂ = k·2·8 × 10⁻¹²/0,04² = 89,9 N

Векторна сума

F = √(56,19² + 89,9²) = 106 N

Відповідь

F = 106 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 17,49 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 12 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 20·27/(20+27) = 11,49 Ω

R_eq = R₁ + 11,49 = 6 + 11,49 = 17,49 Ω

Відповідь

R_eq = 17,49 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 21,24 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 14,58 Ω

R₃ + 14,58 = 16,58 Ω

R₂ ∥ 16,58 = 6,238 Ω

R_eq = R₁ + 6,238 = 15 + 6,238 = 21,24 Ω

Відповідь

R_eq = 21,24 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 12,22 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·4,7/(2,2 + 4,7) = 1,499 kΩ

v_C(∞) = 20·4,7/(2,2 + 4,7) = 13,62 V

Стала часу

τ = R_th·C = 1,499·220 = 329,7 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 13,62·(1 − e^−750/329,7) = 12,22 V

Відповідь

v_C = 12,22 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,3357 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 12/(33 + 22) = 0,2182 A

i(∞) = 12/33 = 0,3636 A

τ = L/R = 100/33 = 3,03 ms

i(t) = 0,3636 + (0,2182 − 0,3636)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 0,3636 + (−0,1455)·e^−5/3,03 = 0,3357 A

Відповідь

i = 0,3357 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 5,222 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,2) = 0,05222 m = 5,222 cm

Відповідь

r = 5,222 cm

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 1,234 mJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 9,87 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,00987·0,5² = 0,001234 J = 1,234 mJ

Відповідь

W = 1,234 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 69,74 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (67,72)²) = 72,19 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(67,72/25) = 69,74°

Відповідь

φ = 69,74°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 93,75 Ω

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 31,44 − j46,43 Ω

Повний опір

Z = 50 + 31,44 − j46,43 = 81,44 − j46,43 Ω

|Z| = √(81,44² + 46,43²) = 93,75 Ω

Відповідь

|Z| = 93,75 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism