Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд −5 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 2,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = −5 µCr₁ = 2,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 10 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 2 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 18,8 V? Знайдіть t.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 30 см ковзає зі швидкістю 4 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,1 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 2 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть потужність P, що розсіюється в резисторі.

B = 0,1 TL = 30 cmv = 4 m/sR = 2 Ω

P = mW

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 25 мГн рівномірно змінюється від 4 А до 1 А за 2 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 25 mH4 A → 1 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,231 × 10⁸ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,025² = 1,151 × 10⁸ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,075² = 7,991 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |1,151 × 10⁸ + 7,991 × 10⁶| = 1,231 × 10⁸ N/C

Відповідь

E = 1,231 × 10⁸ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 415,1 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·4·10 × 10⁻¹²/0,03² = 399,6 N

F₂ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,04² = 112,4 N

Векторна сума

F = √(399,6² + 112,4²) = 415,1 N

Відповідь

F = 415,1 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 7,654 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω

R_eq = R₁ + 2,654 = 5 + 2,654 = 7,654 Ω

Відповідь

R_eq = 7,654 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,396 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,974 Ω

R₃ + 8,974 = 38,97 Ω

R₂ ∥ 38,97 = 3,628 Ω

R_eq = R₁ + 3,628 = 10 + 3,628 = 13,63 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/13,63 = 2,642 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,642·10 = 9,583 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,583/4 = 2,396 A

Відповідь

I_R2 = 2,396 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 2,166 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/0,7021 = 2,166 V

Відповідь

v_L = 2,166 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 112,4 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

Виразіть час

18,8 = 20 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18,8 − 20)/(18 − 20) = 0,6

t = τ·ln((18 − 20)/(18,8 − 20)) = 220·ln(1,667) = 112,4 ms

Відповідь

t = 112,4 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: P = 7,2 mW

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,1·0,3·4 = 0,12 V

Струм

I = ε/R = 0,12/2 = 0,06 A

Потужність

P = εI = 0,12·0,06 = 0,0072 W

Відповідь

P = 7,2 mW

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 37,5 V

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,025·3/0,002 = 37,5 V

Відповідь

ε = 37,5 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,2579

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 314,2 Ω, X_C = 14,47 Ω

Повний опір

|Z| = √(80² + (299,7)²) = 310,2 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 80/310,2 = 0,2579

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,2579

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 20,58 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (19,18)²) = 82,27 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/82,27 = 0,1216 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,1216·169,3 = 20,58 V

Відповідь

V_C = 20,58 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism