Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +5 µC і +2 µC розташовані на відстані 30 cm. На якій відстані x від заряду +5 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +5 µCq₂ = +2 µCd = 30 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 30 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 20° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 30 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 5 ms, у mJ.

V_s = 24 VR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 15 ms.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 Vt = 15 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 8 см один від одного проводять струми 2 А і 2 А у протилежних напрямках. Знайдіть силу на метр довжини F/L між ними.

I₁ = 2 AI₂ = 2 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 250 витків, 10 см × 20 см, обертається зі швидкістю 1800 об/хв в однорідному полі 0,4 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E₀.

N = 250A = 10 cm × 20 cmB = 0,4 Tn = 1800 rpm

E₀ = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 10 mH і C = 2,2 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 5 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 18,38 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

5/x² = 2/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(2/5) = 0,6325

Положення

x = 30/(1 + 0,6325) = 18,38 cm

Відповідь

x = 18,38 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 409 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 20° = 0,03571 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 20° = 0,2052 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2052·√(0,03571/8,99 × 10⁹) = 4,09 × 10⁻⁷ C = 409 nC

Відповідь

q = 409 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,3323 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 20·9/(20+9) = 6,207 Ω

R_eq = R₁ + 6,207 = 5 + 6,207 = 11,21 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,21 = 1,071 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,071·5 = 6,646 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,646/20 = 0,3323 A

Відповідь

I_R2 = 0,3323 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 5,008 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 5,867 Ω

R₃ + 5,867 = 7,867 Ω

R₂ ∥ 7,867 = 1,595 Ω

R_eq = R₁ + 1,595 = 2 + 1,595 = 3,595 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/3,595 = 5,008 A

Відповідь

I_R1 = 5,008 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 26,26 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

i(∞) = V_s/R = 24/20 = 1,2 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1,2·(1 − e^−5/2,35) = 1,057 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·47·1,057² = 26,26 mJ

Відповідь

W = 26,26 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 8,533 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(15) = 10 + (−2)·e^−15/48,4 = 8,533 V

Відповідь

v_C = 8,533 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F/L = 10 µN/m

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·2/0,08 = 10 µN/m

Відповідь

F/L = 10 µN/m

Струми протилежних напрямків відштовхуються.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E₀ = 377 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,02 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 250·0,4·0,02·188,5 = 377 V

Відповідь

E₀ = 377 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2446 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (46,71)²) = 49,06 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/49,06 = 0,2446 A

Відповідь

I = 0,2446 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 13,48

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·2,2·10⁻⁶)) = 1073 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,01/(2,2·10⁻⁶)) = 13,48

Відповідь

Q = 13,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism