Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +6 µC і заряд +4 µC розташовані на відстані 30 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 22,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +6 µCq₂ = +4 µCr₁ = 22,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 4 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 20 ms.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 20 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 500 ms.

V_s = 24 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µFt = 500 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Провідник проводить струм праворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що діє на провідник.

I: праворучB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 200 витків, 5 см × 20 см, обертається зі швидкістю 3000 об/хв в однорідному полі 0,3 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 200A = 5 cm × 20 cmB = 0,3 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 0,47 µF має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 500 HzC = 0,47 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 100 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,01 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 5,327 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,225² = 1,065 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,075² = 6,393 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,065 × 10⁶ − 6,393 × 10⁶| = 5,327 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 5,327 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 80,64 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·4 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Векторна сума

F = √(10,79² + 79,91²) = 80,64 N

Відповідь

F = 80,64 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,365 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 2 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 20·7/(20+7) = 5,185 Ω

R_eq = R₁ + 5,185 = 8 + 5,185 = 13,19 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13,19 = 1,365 A

Відповідь

I_R1 = 1,365 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,641 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 8 + 8 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 6,154 Ω

R₃ + 6,154 = 9,154 Ω

R₂ ∥ 9,154 = 1,641 Ω

R_eq = R₁ + 1,641 = 5 + 1,641 = 6,641 Ω

Відповідь

R_eq = 6,641 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,4188 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0,5 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,5·(1 − e^−20/11) = 0,4188 A

Відповідь

i = 0,4188 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 10,94 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 24·10/(3,3 + 10) = 18,05 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 10·100 = 1000 ms

Розряджання

v_C(t) = 18,05·e^−500/1000 = 10,94 V

Відповідь

v_C = 10,94 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: угору по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

I: праворуч, B: у площину сторінки

Напрямок сили

угору по сторінці

Відповідь

F: угору по сторінці

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 133,3 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,01 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 200·0,3·0,01·314,2 = 188,5 V

Діюче значення

E_rms = 188,5/√2 = 133,3 V

Відповідь

E_rms = 133,3 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 215,6 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·0,47·10⁻⁶) = 215,6 mH

Відповідь

L = 215,6 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 63,25

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,01·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,1/(0,01·10⁻⁶)) = 63,25

Відповідь

Q = 63,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism