Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +5 µC і заряд −5 µC розташовані на відстані 30 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 22,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +5 µCq₂ = −5 µCr₁ = 22,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 4,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 10 cm, напруженість поля між ними 1300 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 1300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 33 mH

W(∞) = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 20 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 21,6 V? Знайдіть t.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається униз по сторінці в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: униз по сторінціB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 250 витків, 8 см × 10 см, обертається в однорідному полі 0,3 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 66,64 В?

N = 250A = 8 cm × 10 cmB = 0,3 TE_rms = 66,64 V

n = rpm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 8,879 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,225² = 887901 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,075² = 7,991 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |887901 + 7,991 × 10⁶| = 8,879 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 8,879 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 0,5645 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,1/4,5 × 10⁷ = 2,222 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1300/9,109 × 10⁻³¹ = 2,286 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·2,286 × 10¹⁴·(2,222 × 10⁻⁹)² = 0,0005645 m = 0,5645 mm

Відповідь

y = 0,5645 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 7,182 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω

R_eq = R₁ + 2,182 = 5 + 2,182 = 7,182 Ω

Відповідь

R_eq = 7,182 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 19,97 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 5 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,882 Ω

R₃ + 3,882 = 9,882 Ω

R₂ ∥ 9,882 = 4,97 Ω

R_eq = R₁ + 4,97 = 15 + 4,97 = 19,97 Ω

Відповідь

R_eq = 19,97 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W(∞) = 0,2689 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Накопичена енергія

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·0,1277² = 0,2689 mJ

Відповідь

W(∞) = 0,2689 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 240,1 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 24 + (20 − 24)·e^−t/τ

Виразіть час

21,6 = 24 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (21,6 − 24)/(20 − 24) = 0,6

t = τ·ln((20 − 24)/(21,6 − 24)) = 470·ln(1,667) = 240,1 ms

Відповідь

t = 240,1 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ліворуч

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: униз по сторінці, B: у площину сторінки

Від’ємний заряд

Сила, що діє на електрон, протилежна до сили, що діє на додатний заряд.

Напрямок сили

ліворуч

Відповідь

F: ліворуч

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 1500 rpm

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·E_rms = 94,24 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 94,24/(250·0,3·0,008) = 157,1 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·157,1/(2π) = 1500 rpm

Відповідь

n = 1500 rpm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −75,14 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 12/100 = 0,12 A

I_X = V/X_C = 12/26,53 = 0,4524 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,12² + 0,4524²) = 0,468 A

Кут зсуву фаз

Струм конденсатора випереджає V, тож загальний струм випереджає, і кут від’ємний.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,4524/0,12) = −75,14°

Відповідь

φ = −75,14°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 20,63 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·4,7·10⁻⁶) = 2063 rad/s

I = V/R = 2/10 = 0,2 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 2063·0,05 = 103,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·103,1 = 20,63 V

Відповідь

V_L = 20,63 V

Це в Q = 10,31 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism