Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++4 µC−−10 µCP20 cm

Заряд +4 µC і заряд −10 µC розташовані на відстані 20 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 15 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +4 µCq2 = −10 µCr1 = 15 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
10 cm8 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +8 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 1 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 8 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 8 µCq2 = 8 µCq3 = 1 µCr13 = 10 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​30 ΩBR6​12 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 30 ΩR5 = 10 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 2,2 kΩC10 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 5 ms.

Vs = 20 VR1 = 3,3 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 5 ms
vC = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​9 Vt = 0R = 2,2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 19,5 V? Знайдіть t.

Vs = 9 VR = 2,2 kΩC = 68 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
+v = 1 × 10⁶ m/sr = ?B = 0,4 T

Альфа-частинка рухається зі швидкістю 1 × 10⁶ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 0,4 T. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 0,4 T
r = cm
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
I = 1,5 Al = 30 cmN = 100, ⌀ 5 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 100 витків, довжину 30 см і діаметр 5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 1,5 А.

N = 100l = 30 cm⌀ = 5 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
24 V200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
P = W
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
230 V500 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 40 ΩC = 2,2 µF

Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR1 = 25 ΩR2 = 40 ΩC = 2,2 µF
|Z| = Ω

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,756 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁷ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |1,598 × 10⁶ + 3,596 × 10⁷| = 3,756 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 3,756 × 10⁷ N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 13,34 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·8·1 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N
F2 = k·8·1 × 10⁻¹²/0,08² = 11,24 N

Векторна сума

F = √(7,192² + 11,24²) = 13,34 N

Відповідь

F = 13,34 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,5172 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAR4​6 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4,5 Ω
Req = R1 + 4,5 = 10 + 4,5 = 14,5 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/14,5 = 0,6897 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,6897·10 = 3,103 V
IR2 = VA/R2 = 3,103/6 = 0,5172 A

Відповідь

IR2 = 0,5172 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 22,9 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAR4​30 ΩBR6​12 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 12 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 12,69 Ω
R3 + 12,69 = 16,69 Ω
R2 ∥ 16,69 = 7,9 Ω
Req = R1 + 7,9 = 15 + 7,9 = 22,9 Ω

Відповідь

Req = 22,9 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 2,522 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·2,2/(3,3 + 2,2) = 1,32 kΩ
vC(∞) = 20·2,2/(3,3 + 2,2) = 8 V

Стала часу

τ = Rth·C = 1,32·10 = 13,2 ms

Крива заряджання

vC(t) = 8·(1 − e−5/13,2) = 2,522 V

Відповідь

vC = 2,522 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 53,36 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms
vC(t) = 9 + (24 − 9)·e−t/τ

Виразіть час

19,5 = 9 + (15)·e−t/τ → e−t/τ = (19,5 − 9)/(24 − 9) = 0,7
t = τ·ln((24 − 9)/(19,5 − 9)) = 149,6·ln(1,429) = 53,36 ms

Відповідь

t = 53,36 ms
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 5,185 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 6,645 × 10⁻²⁷·1 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,05185 m = 5,185 cm

Відповідь

r = 5,185 cm
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 92,53 µJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 82,25 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·8,225 × 10⁻⁵·1,5² = 9,253 × 10⁻⁵ J = 92,53 µJ

Відповідь

W = 92,53 µJ
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 0,5799 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 62,83 Ω, XC = 361,7 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (−298,9)²) = 315,2 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 24/315,2 = 0,07615 A
P = I²·R = 0,07615²·100 = 0,5799 W

Відповідь

P = 0,5799 W
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 63 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XC = 1/(2π·500·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 37,16 − j10,27 Ω

Повний опір

Z = 25 + 37,16 − j10,27 = 62,16 − j10,27 Ω
|Z| = √(62,16² + 10,27²) = 63 Ω

Відповідь

|Z| = 63 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism