Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд −4 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 20 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = −4 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 5 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 4 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 4 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 80% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 20 VR = 50 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 5 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 4,5 V, рівно через 200 ms після старту. При C = 10 µF знайдіть потрібний опір R.

V_s = 5 VV_th = 4,5 VT = 200 msC = 10 µF

R = kΩ

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Альфа-частинка рухається зі швидкістю 2,5 × 10⁶ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 0,5 T. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 0,5 T

r = cm

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 25 мГн рівномірно змінюється від 0,5 А до 2,5 А за 10 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 25 mH0,5 A → 2,5 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,697 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,2² = 1,798 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,2² = 899000 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |1,798 × 10⁶ + 899000| = 2,697 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 2,697 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 113,2 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,1² = 13,48 N

F₂ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,04² = 112,4 N

Векторна сума

F = √(13,48² + 112,4²) = 113,2 N

Відповідь

F = 113,2 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,385 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 2 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 6 + 2,667 = 8,667 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8,667 = 2,077 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2,077·6 = 5,538 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,538/4 = 1,385 A

Відповідь

I_R2 = 1,385 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 12,79 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 4 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 1,871 Ω

R₃ + 1,871 = 3,871 Ω

R₂ ∥ 3,871 = 2,791 Ω

R_eq = R₁ + 2,791 = 10 + 2,791 = 12,79 Ω

Відповідь

R_eq = 12,79 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 2,189 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

i(∞) = V_s/R = 20/50 = 0,4 A

Виразіть час

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −1,36·ln(0,2) = 2,189 ms

Відповідь

t = 2,189 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 8,686 kΩ

Потрібна стала часу

4,5 = 5·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 4,5))

τ = 200/2,303 = 86,86 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 86,86/10 = 8,686 kΩ

Відповідь

R = 8,686 kΩ

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 10,37 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 6,645 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,1037 m = 10,37 cm

Відповідь

r = 10,37 cm

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 5 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,025·2/0,01 = 5 V

Відповідь

ε = 5 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,08013 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (621,1)²) = 624 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/624 = 0,08013 A

Відповідь

I = 0,08013 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 318,3 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·1·10⁻⁶)) = 318,3 Hz

Відповідь

f₀ = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism