Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +4 µC і −3 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 50 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −3 µCr = 50 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 3 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 95% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 12 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 9,6 V, рівно через 500 ms після старту. При C = 2,2 µF знайдіть потрібний опір R.

V_s = 12 VV_th = 9,6 VT = 500 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається зі швидкістю 1 × 10⁵ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 0,2 T. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁵ m/sB = 0,2 T

r = cm

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Дві котушки з індуктивностями 80 мГн і 200 мГн мають коефіцієнт зв’язку 0,6. Струм у першій котушці змінюється зі швидкістю 100 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в другій котушці.

L₁ = 80 mHL₂ = 200 mHk = 0,6di/dt = 100 A/s

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 0,22 µF має резонувати на частоті 60 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 60 HzC = 0,22 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 5 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,00899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (4 + −3)/2 = 0,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,00899 N

Відповідь

F = 0,00899 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 254,8 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N

F₂ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

Векторна сума

F = √(86,3² + 239,7²) = 254,8 N

Відповідь

F = 254,8 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,776 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω

R_eq = R₁ + 4,444 = 4 + 4,444 = 8,444 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,444 = 1,776 A

Відповідь

I_R1 = 1,776 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1068 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 3,636 Ω

R₃ + 3,636 = 8,636 Ω

R₂ ∥ 8,636 = 4,153 Ω

R_eq = R₁ + 4,153 = 25 + 4,153 = 29,15 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/29,15 = 0,2058 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2058·25 = 0,8547 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,8547/8 = 0,1068 A

Відповідь

I_R2 = 0,1068 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,408 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0,2 A

Виразіть час

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −0,47·ln(0,05) = 1,408 ms

Відповідь

t = 1,408 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 141,2 kΩ

Потрібна стала часу

9,6 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 9,6))

τ = 500/1,609 = 310,7 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 310,7/2,2 = 141,2 kΩ

Відповідь

R = 141,2 kΩ

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,5222 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,2) = 0,005222 m = 0,5222 cm

Відповідь

r = 0,5222 cm

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 7,589 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Взаємна індуктивність

M = 0,6·√(80·200) = 75,89 mH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,07589·100 = 7,589 V

Відповідь

ε = 7,589 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 31983 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·0,22·10⁻⁶) = 31983 mH

Відповідь

L = 31983 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 35,36 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0,5 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 1414·0,05 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·70,71 = 35,36 V

Відповідь

V_L = 35,36 V

Це в Q = 7,071 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism