Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +4 µC і −6 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 5 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −6 µCr = 5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +10 µC і +10 µC розташовані на відстані 20 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 8 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +10 µCd = 20 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 1,25 A? Знайдіть t.

i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 15 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 9 V, рівно через 200 ms після старту. При R = 4,7 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 200 msR = 4,7 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 100 витків має площу 40 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,4 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 500 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 100A = 40 cm²B = 0,4 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 1500 витків, довжину 20 см і діаметр 5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 1500l = 20 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 3,596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (4 + −6)/2 = −1 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,05² = 3,596 N

Відповідь

F = 3,596 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 6,849 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(10² + 8²) = 12,81 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,1281² = 5,482 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5,482 × 10⁶·0,6247 = 6,849 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 6,849 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 21,75 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 20 + 1,75 = 21,75 Ω

Відповідь

R_eq = 21,75 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 2,002 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 12,59 Ω

R₃ + 12,59 = 27,59 Ω

R₂ ∥ 27,59 = 3,494 Ω

R_eq = R₁ + 3,494 = 4 + 3,494 = 7,494 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7,494 = 2,002 A

Відповідь

I_R1 = 2,002 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,6931 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

Виразіть час

1,25 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/1,25)

t = 1·ln(2) = 0,6931 ms

Відповідь

t = 0,6931 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 46,44 µF

Потрібна стала часу

9 = 15·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 9))

τ = 200/0,9163 = 218,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 218,3/4,7 = 46,44 µF

Відповідь

C = 46,44 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 320 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,4·0,004 = 0,0016 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0016/0,5 = 0,32 V

Відповідь

ε = 320 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 27,76 mH

Поперечний переріз

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0,001963/0,2 = 0,02776 H = 27,76 mH

Відповідь

L = 27,76 mH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 24,91 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 230/40 = 5,75 A

I_X = V/X_C = 230/31,83 = 7,226 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5,75² + 7,226²) = 9,234 A

Повний опір

|Z| = V/I = 230/9,234 = 24,91 Ω

Відповідь

|Z| = 24,91 Ω

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 2,283 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (12,39)²) = 100,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/100,8 = 2,283 A

Відповідь

I = 2,283 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism