Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +5 µC ліворуч, −3 µC праворуч на відстані 40 cm і −4 µC між ними, на відстані 10 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = −3 µCq_M = −4 µCr_L = 10 cmr_R = 30 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 5 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 1 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 1 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 1 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 99% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 50 ms.

V_s = 6 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 22 µFt = 50 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 20 витків, площею 25 cm² і опором 5 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0 Тл до 0,6 Тл за 20 мс. Знайдіть середній індукований струм I.

N = 20A = 25 cm²B: 0 T → 0,6 TΔt = 20 msR = 5 Ω

I = mA

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 5 мГн рівномірно змінюється від 0 А до 3 А за 10 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 5 mH0 A → 3 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 100 Ω, L = 50 mH і C = 0,01 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 100 ΩL = 50 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 19,18 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·5·4 × 10⁻¹²/0,1² = −17,98 N

F_R = −k·3·4 × 10⁻¹²/0,3² = −1,199 N

Результуюча сила

F = −17,98 + (−1,199) = −19,18 N → |F| = 19,18 N

Відповідь

F = 19,18 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 70,63 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·1·5 × 10⁻¹²/0,03² = 49,94 N

F₂ = k·1·5 × 10⁻¹²/0,03² = 49,94 N

Векторна сума

F = √(49,94² + 49,94²) = 70,63 N

Відповідь

F = 70,63 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 9,759 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 6·23/(6+23) = 4,759 Ω

R_eq = R₁ + 4,759 = 5 + 4,759 = 9,759 Ω

Відповідь

R_eq = 9,759 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,7511 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 3,231 Ω

R₃ + 3,231 = 23,23 Ω

R₂ ∥ 23,23 = 2,657 Ω

R_eq = R₁ + 2,657 = 4 + 2,657 = 6,657 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/6,657 = 0,7511 A

Відповідь

I_R1 = 0,7511 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 20,88 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4,533 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0,4 A

Виразіть час

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −4,533·ln(0,01) = 20,88 ms

Відповідь

t = 20,88 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 3,245 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 6·6,8/(2,2 + 6,8) = 4,533 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 6,8·22 = 149,6 ms

Розряджання

v_C(t) = 4,533·e^−50/149,6 = 3,245 V

Відповідь

v_C = 3,245 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 300 mA

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,6 − 0)·0,0025 = 0,0015 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0015/0,02 = 1,5 V

Струм

I = ε/R = 1,5/5 = 0,3 A

Відповідь

I = 300 mA

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 1,5 V

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,005·3/0,01 = 1,5 V

Відповідь

ε = 1,5 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,8388

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 94,25 Ω, X_C = 159,2 Ω

Повний опір

|Z| = √(100² + (−64,91)²) = 119,2 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 100/119,2 = 0,8388

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,8388

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 318,3 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,01·10⁻⁶)) = 7118 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,05/(0,01·10⁻⁶)) = 22,36

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 7118/22,36 = 318,3 Hz

Відповідь

B = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism