Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +1 µC і +2 µC розташовані на відстані 60 cm. На якій відстані x від заряду +1 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCd = 60 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +5 µC і +5 µC розташовані на відстані 6 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 3 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCd = 6 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 500 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 500 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R₂. Через який час після t = 0 струм котушки досягне 0,293 A? Знайдіть t.

V_s = 9 VR₁ = 22 ΩR₂ = 15 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається зі швидкістю 6 × 10⁵ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 0,25 T. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁵ m/sB = 0,25 T

r = cm

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 1000 витків, довжину 50 см і діаметр 5 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 1000l = 50 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 50 mH

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 100 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 24,85 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

1/x² = 2/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(2/1) = 1,414

Положення

x = 60/(1 + 1,414) = 24,85 cm

Відповідь

x = 24,85 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,532 × 10⁷ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(3² + 3²) = 4,243 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,04243² = 2,497 × 10⁷ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·2,497 × 10⁷·0,7071 = 3,532 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 3,532 × 10⁷ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,6933 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1,636 Ω

R_eq = R₁ + 1,636 = 20 + 1,636 = 21,64 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/21,64 = 0,6933 A

Відповідь

I_R1 = 0,6933 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,001 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 5,027 Ω

R₃ + 5,027 = 8,027 Ω

R₂ ∥ 8,027 = 4,007 Ω

R_eq = R₁ + 4,007 = 8 + 4,007 = 12,01 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/12,01 = 1,999 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,999·8 = 8,009 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,009/8 = 1,001 A

Відповідь

I_R2 = 1,001 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 1,001 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 12·1/(10 + 1) = 1,091 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,9091·220 = 200 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 1,091·(1 − e^−500/200) = 1,001 V

Відповідь

v_C = 1,001 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,103 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 9/(22 + 15) = 0,2432 A

i(∞) = 9/22 = 0,4091 A

τ = L/R = 68/22 = 3,091 ms

i(t) = 0,4091 + (0,2432 − 0,4091)·e^−t/τ

Виразіть час

e^−t/τ = (0,293 − 0,4091)/(0,2432 − 0,4091) = 0,7

t = 3,091·ln(1,429) = 1,103 ms

Відповідь

t = 1,103 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 2,506 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 0,02506 m = 2,506 cm

Відповідь

r = 2,506 cm

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 4,935 mH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,001963/0,5 = 0,004935 H = 4,935 mH

Відповідь

L = 4,935 mH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 9,714 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_L = ωL = 2π·50·0,05 = 15,71 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 120/20 = 6 A

I_X = V/X_L = 120/15,71 = 7,639 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(6² + 7,639²) = 9,714 A

Відповідь

I = 9,714 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 0,8149 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (468,1)²) = 468,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/468,7 = 0,256 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,256·3,183 = 0,8149 V

Відповідь

V_C = 0,8149 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism