Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +10 µC і +2 µC розташовані на відстані 40 cm. На якій відстані x від заряду +10 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +10 µCq₂ = +2 µCd = 40 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 4 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 8 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 80 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 68 µFt = 80 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається праворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: праворучB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 40 мГн рівномірно змінюється від 3,5 А до 0,5 А за 5 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 40 mH3,5 A → 0,5 AΔt = 5 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 10 Ω, L = 1 mH і C = 2,2 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 10 ΩL = 1 mHC = 2,2 µF

B = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 27,64 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

10/x² = 2/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(2/10) = 0,4472

Положення

x = 40/(1 + 0,4472) = 27,64 cm

Відповідь

x = 27,64 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 60,14 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,06² = 39,96 N

F₂ = k·8·4 × 10⁻¹²/0,08² = 44,95 N

Векторна сума

F = √(39,96² + 44,95²) = 60,14 N

Відповідь

F = 60,14 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 12,63 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 8·11/(8+11) = 4,632 Ω

R_eq = R₁ + 4,632 = 8 + 4,632 = 12,63 Ω

Відповідь

R_eq = 12,63 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2885 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 4 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 1,81 Ω

R₃ + 1,81 = 26,81 Ω

R₂ ∥ 26,81 = 12,94 Ω

R_eq = R₁ + 12,94 = 5 + 12,94 = 17,94 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17,94 = 0,5575 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,5575·5 = 7,212 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,212/25 = 0,2885 A

Відповідь

I_R2 = 0,2885 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1736 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0,2206 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2206·(1 − e^−5/3,235) = 0,1736 A

Відповідь

i = 0,1736 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 7,637 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 24·4,7/(6,8 + 4,7) = 9,809 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 4,7·68 = 319,6 ms

Розряджання

v_C(t) = 9,809·e^−80/319,6 = 7,637 V

Відповідь

v_C = 7,637 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: униз по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: праворуч, B: у площину сторінки

Від’ємний заряд

Сила, що діє на електрон, протилежна до сили, що діє на додатний заряд.

Напрямок сили

униз по сторінці

Відповідь

F: униз по сторінці

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 24 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·3/0,005 = 24 V

Відповідь

ε = 24 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 2,642 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (84,74)²) = 87,06 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/87,06 = 2,642 A

Відповідь

I = 2,642 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 1592 Hz

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,001·2,2·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,001/(2,2·10⁻⁶)) = 2,132

Смуга пропускання

B = f₀/Q = 3393/2,132 = 1592 Hz

Відповідь

B = 1592 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism