Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −10 µC і −1 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 15 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = −1 µCr = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +3 µC і +3 µC розташовані на відстані 20 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 3 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 20 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 80 ms.

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 220 µFt = 80 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 5 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 75 ms.

V_s = 9 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 Vt = 75 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 80 см ковзає зі швидкістю 2,5 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,25 Тл, спрямованому в площину сторінки. Знайдіть індуковану ЕРС ε між його кінцями.

B = 0,25 TL = 80 cmv = 2,5 m/s

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Протон проходить без відхилення крізь селектор швидкостей зі схрещеними полями E = 5 × 10⁴ В/м і B₁ = 0,4 Тл. Потім вона влітає в другу область лише з магнітним полем B₂ = 1 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r її траєкторії там.

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0,4 TB₂ = 1 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 5 Ω, L = 20 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 12,09 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−10 + −1)/2 = −5,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 12,09 N

Відповідь

F = 12,09 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,422 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(10² + 3²) = 10,44 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1044² = 2,474 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·2,474 × 10⁶·0,2873 = 1,422 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 1,422 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,644 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 2·40/(2+40) = 1,905 Ω

R_eq = R₁ + 1,905 = 12 + 1,905 = 13,9 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,9 = 1,726 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,726·12 = 3,288 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,288/2 = 1,644 A

Відповідь

I_R2 = 1,644 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,2148 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 9,079 Ω

R₃ + 9,079 = 11,08 Ω

R₂ ∥ 11,08 = 2,939 Ω

R_eq = R₁ + 2,939 = 25 + 2,939 = 27,94 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/27,94 = 0,2148 A

Відповідь

I_R1 = 0,2148 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 2,973 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ

v_C(∞) = 10·6,8/(1 + 6,8) = 8,718 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,8718·220 = 191,8 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 8,718·(1 − e^−80/191,8) = 2,973 V

Відповідь

v_C = 2,973 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 6,156 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 9 + (5 − 9)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(75) = 9 + (−4)·e^−75/220 = 6,156 V

Відповідь

v_C = 6,156 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 500 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,25·0,8·2,5 = 0,5 V

Відповідь

ε = 500 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,1305 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0,4 = 125000 m/s

Радіус у другому полі

r = mv/(|q|B₂) = 0,001305 m = 0,1305 cm

Відповідь

r = 0,1305 cm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −69,87 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−81,85)²) = 87,18 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−81,85/30) = −69,87°

Відповідь

φ = −69,87°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 41,26

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,47·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,47·10⁻⁶)) = 41,26

Відповідь

Q = 41,26

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism