Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +1 µC ліворуч, +3 µC праворуч на відстані 30 cm і −3 µC між ними, на відстані 22,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +1 µCq_R = +3 µCq_M = −3 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 1,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 5 cm, напруженість поля між ними 3400 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 3400 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 50% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 4 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 250 ms.

V_s = 6 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 4 Vt = 250 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається по колу в однорідному магнітному полі 1 T. Знайдіть час T одного оберту.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 1 T

T = ns

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

У селекторі швидкостей схрещені поля E = 5 × 10⁵ В/м і B = 0,5 Тл пропускають прямо лише іони однієї швидкості. Знайдіть цю швидкість v.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,5 T

v = m/s

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 10 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 13,85 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·1·3 × 10⁻¹²/0,225² = −0,5327 N

F_R = +k·3·3 × 10⁻¹²/0,075² = 14,38 N

Результуюча сила

F = −0,5327 + (14,38) = 13,85 N → |F| = 13,85 N

Відповідь

F = 13,85 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 3,322 mm

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,05/1,5 × 10⁷ = 3,333 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3400/9,109 × 10⁻³¹ = 5,98 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·5,98 × 10¹⁴·(3,333 × 10⁻⁹)² = 0,003322 m = 3,322 mm

Відповідь

y = 3,322 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,632 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 12·13/(12+13) = 6,24 Ω

R_eq = R₁ + 6,24 = 8 + 6,24 = 14,24 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,24 = 0,632 A

Відповідь

I_R1 = 0,632 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 3,804 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 2,917 Ω

R₃ + 2,917 = 32,92 Ω

R₂ ∥ 32,92 = 1,885 Ω

R_eq = R₁ + 1,885 = 6 + 1,885 = 7,885 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/7,885 = 3,804 A

Відповідь

I_R1 = 3,804 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,3364 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0,4853 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0,1765 A

Виразіть час

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,4853·ln(0,5) = 0,3364 ms

Відповідь

t = 0,3364 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 5,836 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (4 − 6)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(250) = 6 + (−2)·e^−250/100 = 5,836 V

Відповідь

v_C = 5,836 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: T = 65,62 ns

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Період колового руху

Швидша частинка рухається по більшому колу, тож час одного оберту лишається незмінним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 65,62 ns

Відповідь

T = 65,62 ns

Швидкість не потрібна: саме тому циклотрон може використовувати одну фіксовану частоту.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: v = 1 × 10⁶ m/s

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,5 = 1 × 10⁶ m/s

Відповідь

v = 1 × 10⁶ m/s

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,6665

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 125,7 Ω, X_C = 36,17 Ω

Повний опір

|Z| = √(80² + (89,49)²) = 120 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 80/120 = 0,6665

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,6665

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 33,44 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (234,6)²) = 238 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/238 = 0,4202 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,4202·79,58 = 33,44 V

Відповідь

V_C = 33,44 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism