Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд −6 µC розташовані на відстані 60 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 15 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = −6 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 3,5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 4 cm, напруженість поля між ними 5000 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 5000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 95% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 12 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 15,6 V? Знайдіть t.

V_s = 24 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 25 витків має площу 50 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,8 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 250 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 25A = 50 cm²B = 0,8 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 500 витків, 8 см × 25 см, обертається зі швидкістю 1800 об/хв в однорідному полі 0,3 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E₀.

N = 500A = 8 cm × 25 cmB = 0,3 Tn = 1800 rpm

E₀ = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 50 Ω, L = 10 mH і C = 0,047 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,047 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,463 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,15² = 3,196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,45² = 266370 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |3,196 × 10⁶ + 266370| = 3,463 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 3,463 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 0,5743 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,04/3,5 × 10⁷ = 1,143 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·5000/9,109 × 10⁻³¹ = 8,794 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·8,794 × 10¹⁴·(1,143 × 10⁻⁹)² = 0,0005743 m = 0,5743 mm

Відповідь

y = 0,5743 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,4421 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 15 + 12 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 8·27/(8+27) = 6,171 Ω

R_eq = R₁ + 6,171 = 20 + 6,171 = 26,17 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/26,17 = 0,5731 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,5731·20 = 3,537 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,537/8 = 0,4421 A

Відповідь

I_R2 = 0,4421 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,1904 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 2,471 Ω

R₃ + 2,471 = 5,471 Ω

R₂ ∥ 5,471 = 2,311 Ω

R_eq = R₁ + 2,311 = 25 + 2,311 = 27,31 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/27,31 = 0,3295 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,3295·25 = 0,7614 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,7614/4 = 0,1904 A

Відповідь

I_R2 = 0,1904 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,408 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0,1 A

Виразіть час

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −0,47·ln(0,05) = 1,408 ms

Відповідь

t = 1,408 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 80,04 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 24 + (12 − 24)·e^−t/τ

Виразіть час

15,6 = 24 + (−12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 24)/(12 − 24) = 0,7

t = τ·ln((12 − 24)/(15,6 − 24)) = 224,4·ln(1,429) = 80,04 ms

Відповідь

t = 80,04 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 400 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,8·0,005 = 0,004 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,004/0,25 = 0,4 V

Відповідь

ε = 400 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E₀ = 565,5 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,02 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 500·0,3·0,02·188,5 = 565,5 V

Відповідь

E₀ = 565,5 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 2,56 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−40,93)²) = 89,86 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/89,86 = 2,56 A

Відповідь

I = 2,56 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 9,225

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,01/(0,047·10⁻⁶)) = 9,225

Відповідь

Q = 9,225

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism