Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −8 µC і +1 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 15 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = +1 µCr = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 2 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 30 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 30 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 90% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 5,2 V? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається по колу в однорідному магнітному полі 8 mT. Знайдіть час T одного оберту.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 8 mT

T = ns

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 400 витків, довжину 15 см і діаметр 2,5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 1 А.

N = 400l = 15 cm⌀ = 2,5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 24 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 4,895 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−8 + 1)/2 = −3,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 4,895 N

Відповідь

F = 4,895 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 64,63 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 10° = 0,00346 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 10° = 0,1042 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1042·√(0,00346/8,99 × 10⁹) = 6,463 × 10⁻⁸ C = 64,63 nC

Відповідь

q = 64,63 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5048 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8,235 Ω

R_eq = R₁ + 8,235 = 4 + 8,235 = 12,24 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,24 = 1,226 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,226·4 = 10,1 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,1/20 = 0,5048 A

Відповідь

I_R2 = 0,5048 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,935 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 2 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 5,44 Ω

R₃ + 5,44 = 8,44 Ω

R₂ ∥ 8,44 = 3,507 Ω

R_eq = R₁ + 3,507 = 12 + 3,507 = 15,51 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15,51 = 1,935 A

Відповідь

I_R1 = 1,935 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 25,33 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Виразіть час

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −11·ln(0,1) = 25,33 ms

Відповідь

t = 25,33 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 510,8 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Виразіть час

5,2 = 10 + (−8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5,2 − 10)/(2 − 10) = 0,6

t = τ·ln((2 − 10)/(5,2 − 10)) = 1000·ln(1,667) = 510,8 ms

Відповідь

t = 510,8 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: T = 4,466 ns

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Період колового руху

Швидша частинка рухається по більшому колу, тож час одного оберту лишається незмінним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,008) = 4,466 ns

Відповідь

T = 4,466 ns

Швидкість не потрібна: саме тому циклотрон може використовувати одну фіксовану частоту.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 329 µJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 658 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,000658·1² = 0,000329 J = 329 µJ

Відповідь

W = 329 µJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 23,85 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 24/25 = 0,96 A

I_X = V/X_C = 24/79,58 = 0,3016 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,96² + 0,3016²) = 1,006 A

Повний опір

|Z| = V/I = 24/1,006 = 23,85 Ω

Відповідь

|Z| = 23,85 Ω

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,1905 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−257,7)²) = 262,5 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/262,5 = 0,1905 A

Відповідь

I = 0,1905 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism