Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++5 µC−−8 µCP40 cm

Заряд +5 µC і заряд −8 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 10 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +5 µCq2 = −8 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
10 cm10 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +8 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 1 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 10 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 10 µCq2 = 8 µCq3 = 1 µCr13 = 10 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​4 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 ΩR5 = 4 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​15 Vt = 0R = 100 ΩL10 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 1 ms.

Vs = 15 VR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​20 VR1​ = 22 ΩR2​ = 33 Ωзамикається при t = 0L220 mHi(t)

Ключ паралельно R2 був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R2. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

Vs = 20 VR1 = 22 ΩR2 = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms
i = A
7.Магнітні поля та індукціяСередня
dB/dt < 0I = ?

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Індукція поля спадає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: зі сторінкиdB/dt < 0
  1. 1за годинниковою стрілкою
  2. 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Bn = 1200 rpm8 cm × 10 cmN = 250B = 0,25 T

Котушка з 250 витків, 8 см × 10 см, обертається зі швидкістю 1200 об/хв в однорідному полі 0,25 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E0.

N = 250A = 8 cm × 10 cmB = 0,25 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 50 HzRL = 50 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 50 mH має резонувати на частоті 50 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 50 HzL = 50 mH
C = µF
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
230 V50 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 5,294 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,1² = 4,495 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,3² = 799111 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |4,495 × 10⁶ + 799111| = 5,294 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 5,294 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 11,51 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·10·1 × 10⁻¹²/0,1² = 8,99 N
F2 = k·8·1 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N

Векторна сума

F = √(8,99² + 7,192²) = 11,51 N

Відповідь

F = 11,51 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,023 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​4 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω
Req = R1 + 1,778 = 8 + 1,778 = 9,778 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/9,778 = 1,023 A

Відповідь

IR1 = 1,023 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 19,73 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 4 + 3 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 4,421 Ω
R3 + 4,421 = 10,42 Ω
R2 ∥ 10,42 = 7,734 Ω
Req = R1 + 7,734 = 12 + 7,734 = 19,73 Ω

Відповідь

Req = 19,73 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 0,000681 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms
i(∞) = Vs/R = 15/100 = 0,15 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/0,1 = 0,000681 V

Відповідь

vL = 0,000681 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,5783 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 20/(22 + 33) = 0,3636 A
i(∞) = 20/22 = 0,9091 A
τ = L/R = 220/22 = 10 ms
i(t) = 0,9091 + (0,3636 − 0,9091)·e−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 0,9091 + (−0,5455)·e−5/10 = 0,5783 A

Відповідь

i = 0,5783 A
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E0 = 62,83 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
A = 0,008 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 250·0,25·0,008·125,7 = 62,83 V

Відповідь

E0 = 62,83 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 202,6 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,05) = 202,6 µF

Відповідь

C = 202,6 µF
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 232,2 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·4,7·10⁻⁶)) = 232,2 Hz

Відповідь

f0 = 232,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism