Закон Кулона й електричне поле
- Закон Кулона
- F = k·|q1q2|/r²
- Поле точкового заряду
- E = k·|q|/r²
- Стала
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Сила, що діє на заряд
- F = q·E
Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Послідовні й паралельні резистори
- Послідовне з’єднання резисторів
- Req = R1 + R2 + …
- Паралельне з’єднання резисторів
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Два паралельно
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Закон Ома
- V = I·R
- Потужність
- P = V·I = I²R = V²/R
Метод
- Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
- Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Перемальовуйте коло після кожного кроку.
- Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.
Перехідні процеси RC і RL
- Стала часу
- τ = RC | τ = L/R
- Відгук
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Конденсатор на постійному струмі
- розрив; vC не може змінитися стрибком
- Котушка на постійному струмі
- коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
- Усталений режим
- t ≈ 5τ
Метод
- Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
- Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
- Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
- Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Магнітні поля та індукція
- Довгий прямий провідник
- B = μ0I/(2πr)
- Центр плоскої котушки
- B = μ0NI/(2R)
- Довгий соленоїд
- B = μ0nI, n = N/L
- Стала
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Сила, що діє на провідник
- F = BIL·sin θ
- Сила, що діє на заряд
- F = |q|vB·sin θ
- Рух по колу
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Паралельні провідники
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Потік
- Φ = BA·cos θ
- Закон Фарадея
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Рухомий стрижень
- ε = BLv
- Генератор
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Індуктивність
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Взаємна індуктивність
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Селектор швидкостей і спектрометр
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Метод
- Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
- Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
- Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
- Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.
Повний опір і комплексні амплітуди
- Повні опори
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Кутова частота
- ω = 2πf
- Модуль і кут
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Закон Ома в комплексній формі
- V = I·Z
Метод
- Переведіть частоту: ω = 2πf.
- Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
- Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
- Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
2Задачі для практики
1.Закон Кулона й електричне полеСередня
Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +1 µC і −2 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 25 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +1 µCq2 = −2 µCr = 25 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
Заряди +3 µC і +3 µC розташовані на відстані 20 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 4 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = +3 µCd = 20 cmh = 4 cm
E = N/C
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.
V1 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 4 ΩR5 = 4 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 1 ms.
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Ключ паралельно R2 був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.
Vs = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
7.Магнітні поля та індукціяСередня
Котушка з 50 витків має площу 25 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,2 Тл, перпендикулярному до її площини, за 100 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.
N = 50A = 25 cm²B = 0,2 TΔt = 100 ms
ε = mV
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Котушка з 20 витків, 12 см × 20 см, обертається зі швидкістю 1800 об/хв в однорідному полі 0,3 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E0.
N = 20A = 12 cm × 20 cmB = 0,3 Tn = 1800 rpm
E0 = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Послідовне RLC-коло з L = 20 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.
f0 = 500 HzL = 20 mH
C = µF
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Резистор R1 увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R2 і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.
V = 120 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 20 ΩC = 47 µF
I = A
3Розчини
1.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: F = 0,03596 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Заряд після дотику
q′ = (1 + −2)/2 = −0,5 µC
Нова сила
F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,03596 N
Відповідь
F = 0,03596 N
Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.
2.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: E = 1,727 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Відстань і поле одного заряду
r = √(10² + 4²) = 10,77 cm
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,1077² = 2,325 × 10⁶ N/C
Складові
Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.
E = 2·E1·(h/r) = 2·2,325 × 10⁶·0,3714 = 1,727 × 10⁶ N/C
Відповідь
E = 1,727 × 10⁶ N/C
Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.
3.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: IR1 = 0,4638 A
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R3 + R4 = 20 + 15 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 12·35/(12+35) = 8,936 Ω
Req = R1 + 8,936 = 4 + 8,936 = 12,94 Ω
Струм джерела
Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/12,94 = 0,4638 A
Відповідь
IR1 = 0,4638 A
4.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: IR1 = 0,5313 A
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 3 Ω
R3 + 3 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 3,882 Ω
Req = R1 + 3,882 = 30 + 3,882 = 33,88 Ω
Струм джерела
Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/33,88 = 0,5313 A
Відповідь
IR1 = 0,5313 A
5.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: vL = 1,771 V
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0,3191 A
Напруга на котушці
У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/0,4681 = 1,771 V
Відповідь
vL = 1,771 V
6.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,713 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.
i(0) = 12/5 = 2,4 A
i(∞) = 12/(5 + 22) = 0,4444 A
τ = L/R = 68/27 = 2,519 ms
i(t) = 0,4444 + (2,4 − 0,4444)·e−t/τ
Струм у заданий момент
i(5) = 0,4444 + (1,956)·e−5/2,519 = 0,713 A
Відповідь
i = 0,713 A
7.Магнітні поля та індукція
Відповідь: ε = 500 mV
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Зміна потоку на виток
ΔΦ = 2·0,2·0,0025 = 0,001 Wb
Середня ЕРС
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,001/0,1 = 0,5 V
Відповідь
ε = 500 mV
8.Магнітні поля та індукція
Відповідь: E0 = 27,14 V
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Кутова швидкість і площа
ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
A = 0,024 m²
Амплітудна ЕРС
E₀ = NBAω = 20·0,3·0,024·188,5 = 27,14 V
Відповідь
E0 = 27,14 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: C = 5,066 µF
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Умова резонансу
При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,02) = 5,066 µF
Відповідь
C = 5,066 µF
10.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: I = 2,065 A
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивний опір
XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Паралельне з’єднання
Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Zp на дійсну й уявну частини.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 17,77 − j6,297 Ω
Повний опір
Z = 40 + 17,77 − j6,297 = 57,77 − j6,297 Ω
|Z| = √(57,77² + 6,297²) = 58,11 Ω
Струм
I = V/|Z| = 120/58,11 = 2,065 A
Відповідь
I = 2,065 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism