Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −1 µC і −10 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 15 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = −10 µCr = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 50 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 20° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 50 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 50% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 9 VR = 68 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 4 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 20 ms.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 22 µFv_C(0) = 4 Vt = 20 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 50 витків має площу 150 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,2 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 250 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 50A = 150 cm²B = 0,2 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Коротку котушку з 50 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 2000 витків, довжиною 20 см і діаметром 4 см. Струм у соленоїді змінюється зі швидкістю 10 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в короткій котушці.

N₁ = 2000N₂ = 50l = 20 cm⌀ = 4 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 40 ΩC = 100 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 12,09 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−1 + −10)/2 = −5,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 12,09 N

Відповідь

F = 12,09 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 681,6 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 20° = 0,03571 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 20° = 0,342 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,342·√(0,03571/8,99 × 10⁹) = 6,816 × 10⁻⁷ C = 681,6 nC

Відповідь

q = 681,6 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5591 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω

R_eq = R₁ + 2,438 = 15 + 2,438 = 17,44 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/17,44 = 0,6882 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,6882·15 = 1,677 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,677/3 = 0,5591 A

Відповідь

I_R2 = 0,5591 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,9001 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 20 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 12,75 Ω

R₃ + 12,75 = 32,75 Ω

R₂ ∥ 32,75 = 10,29 Ω

R_eq = R₁ + 10,29 = 8 + 10,29 = 18,29 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/18,29 = 1,312 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,312·8 = 13,5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,5/15 = 0,9001 A

Відповідь

I_R2 = 0,9001 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,529 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2,206 ms

i(∞) = V_s/R = 9/68 = 0,1324 A

Виразіть час

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −2,206·ln(0,5) = 1,529 ms

Відповідь

t = 1,529 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 5,194 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms

v_C(t) = 6 + (4 − 6)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(20) = 6 + (−2)·e^−20/22 = 5,194 V

Відповідь

v_C = 5,194 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 600 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,2·0,015 = 0,003 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,003/0,25 = 0,6 V

Відповідь

ε = 600 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 7,896 mV

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·50·0,001257/0,2 = 789,6 µH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,0007896·10 = 7,896 mV

Відповідь

ε = 7,896 mV

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 86,22 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (908,6)²) = 910,6 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(908,6/60) = 86,22°

Відповідь

φ = 86,22°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 9,33 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 5,467 − j13,74 Ω

Повний опір

Z = 15 + 5,467 − j13,74 = 20,47 − j13,74 Ω

|Z| = √(20,47² + 13,74²) = 24,65 Ω

Струм

I = V/|Z| = 230/24,65 = 9,33 A

Відповідь

I = 9,33 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism