Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди −8 µC і +10 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 20 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = +10 µCr = 20 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 3 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 20 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 15° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 20 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 5 ms, у mJ.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 30 ms.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 10 µFv_C(0) = 2 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Провідник проводить струм униз по сторінці в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що діє на провідник.

I: униз по сторінціB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Дві котушки з індуктивностями 50 мГн і 20 мГн мають коефіцієнт зв’язку 0,6. Струм у першій котушці змінюється зі швидкістю 10 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в другій котушці.

L₁ = 50 mHL₂ = 20 mHk = 0,6di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 10 mH має резонувати на частоті 1000 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 1000 HzL = 10 mH

C = µF

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло має R = 10 Ω, L = 2 mH і C = 0,047 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 10 ΩL = 2 mHC = 0,047 µF

Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,2247 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (−8 + 10)/2 = 1 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,2² = 0,2247 N

Відповідь

F = 0,2247 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 96,96 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 15° = 0,007886 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 15° = 0,1035 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1035·√(0,007886/8,99 × 10⁹) = 9,696 × 10⁻⁸ C = 96,96 nC

Відповідь

q = 96,96 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 9,2 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 6·14/(6+14) = 4,2 Ω

R_eq = R₁ + 4,2 = 5 + 4,2 = 9,2 Ω

Відповідь

R_eq = 9,2 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 17,73 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 7,917 Ω

R₃ + 7,917 = 15,92 Ω

R₂ ∥ 15,92 = 9,725 Ω

R_eq = R₁ + 9,725 = 8 + 9,725 = 17,73 Ω

Відповідь

R_eq = 17,73 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 1,5 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Струм у заданий момент

i(t) = 0,1915·(1 − e^−5/2,128) = 0,1732 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·100·0,1732² = 1,5 mJ

Відповідь

W = 1,5 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 7,954 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(30) = 10 + (−8)·e^−30/22 = 7,954 V

Відповідь

v_C = 7,954 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: праворуч

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

I: униз по сторінці, B: у площину сторінки

Напрямок сили

праворуч

Відповідь

F: праворуч

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 0,1897 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Взаємна індуктивність

M = 0,6·√(50·20) = 18,97 mH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,01897·10 = 0,1897 V

Відповідь

ε = 0,1897 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 2,533 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,01) = 2,533 µF

Відповідь

C = 2,533 µF

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 20,63

Резонансна частота

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,047·10⁻⁶)) = 16416 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,002/(0,047·10⁻⁶)) = 20,63

Відповідь

Q = 20,63

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism