Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +3 µC і заряд −6 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 20 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +3 µCq₂ = −6 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 6 cm, напруженість поля між ними 4200 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 1,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,375 A? Знайдіть t.

i(0) = 1,5 AR = 68 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 200 ms.

V_s = 15 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 24 Vt = 200 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 500 витків, площею 40 cm² і опором 5 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,2 Тл до 1 Тл за 100 мс. Знайдіть середній індукований струм I.

N = 500A = 40 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 msR = 5 Ω

I = A

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 50 витків, 10 см × 15 см, обертається зі швидкістю 900 об/хв в однорідному полі 0,5 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 50A = 10 cm × 15 cmB = 0,5 Tn = 900 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,023 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,2² = 674250 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,2² = 1,348 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |674250 + 1,348 × 10⁶| = 2,023 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 2,023 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 0,5318 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,06/5 × 10⁷ = 1,2 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4200/9,109 × 10⁻³¹ = 7,387 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·7,387 × 10¹⁴·(1,2 × 10⁻⁹)² = 0,0005318 m = 0,5318 mm

Відповідь

y = 0,5318 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,8 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 8 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4,5 Ω

R_eq = R₁ + 4,5 = 3 + 4,5 = 7,5 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,5 = 0,8 A

Відповідь

I_R1 = 0,8 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,332 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 3,448 Ω

R₃ + 3,448 = 9,448 Ω

R₂ ∥ 9,448 = 4,332 Ω

R_eq = R₁ + 4,332 = 2 + 4,332 = 6,332 Ω

Відповідь

R_eq = 6,332 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 2,039 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

Виразіть час

0,375 = 1,5·e^−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,375)

t = 1,471·ln(4) = 2,039 ms

Відповідь

t = 2,039 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 19,81 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 15 + (24 − 15)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(200) = 15 + (9)·e^−200/319,6 = 19,81 V

Відповідь

v_C = 19,81 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 3,2 A

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (1 − 0,2)·0,004 = 0,0032 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0032/0,1 = 16 V

Струм

I = ε/R = 16/5 = 3,2 A

Відповідь

I = 3,2 A

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 24,99 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

A = 0,015 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 50·0,5·0,015·94,25 = 35,34 V

Діюче значення

E_rms = 35,34/√2 = 24,99 V

Відповідь

E_rms = 24,99 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,7535 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (12,39)²) = 15,92 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/15,92 = 0,7535 A

Відповідь

I = 0,7535 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 3,162 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·31,62 = 3,162 V

Відповідь

V_L = 3,162 V

Це в Q = 1,581 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism