Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +4 µC і заряд −10 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 10 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +4 µCq₂ = −10 µCr₁ = 10 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +10 µC і −10 µC розташовані на відстані 8 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 5 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 8 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 1 ms, у mJ.

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i₂ через R₂ при t = 400 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 400 ms

i₂ = mA

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон, що рухається зі швидкістю 5 × 10⁶ м/с, влітає в однорідне магнітне поле під прямим кутом і рухається по колу радіусом 26,11 см. Знайдіть магнітну індукцію B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sr = 26,11 cm

B = T

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 150 витків, 20 см × 20 см, обертається зі швидкістю 1800 об/хв в однорідному полі 0,2 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 150A = 20 cm × 20 cmB = 0,2 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 1 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 4,595 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1² = 3,596 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |3,596 × 10⁶ + 998889| = 4,595 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 4,595 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,74 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(4² + 5²) = 6,403 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,06403² = 2,193 × 10⁷ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,193 × 10⁷·0,6247 = 2,74 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 2,74 × 10⁷ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 24,23 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9,231 Ω

R_eq = R₁ + 9,231 = 15 + 9,231 = 24,23 Ω

Відповідь

R_eq = 24,23 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5869 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3,611 Ω

R₃ + 3,611 = 18,61 Ω

R₂ ∥ 18,61 = 7,296 Ω

R_eq = R₁ + 7,296 = 30 + 7,296 = 37,3 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/37,3 = 0,9653 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 0,9653·30 = 7,042 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,042/12 = 0,5869 A

Відповідь

I_R2 = 0,5869 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 0,7356 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0,4091 A

Струм у заданий момент

i(t) = 0,4091·(1 − e^−1/1) = 0,2586 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·22·0,2586² = 0,7356 mJ

Відповідь

W = 0,7356 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i₂ = 0,4463 mA

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 30·10/(10 + 10) = 15 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 10·33 = 330 ms

Розряджання

v_C(t) = 15·e^−400/330 = 4,463 V

i₂ = v_C/R₂ = 4,463/10 = 0,4463 mA

Відповідь

i₂ = 0,4463 mA

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 0,2 T

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Поле за радіусом

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,2611) = 0,2 T

Відповідь

B = 0,2 T

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 159,9 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,04 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 150·0,2·0,04·188,5 = 226,2 V

Діюче значення

E_rms = 226,2/√2 = 159,9 V

Відповідь

E_rms = 159,9 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,01696 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,25 = 1571 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (1412)²) = 1415 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/1415 = 0,01696 A

Відповідь

I = 0,01696 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 10,31 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,47·10⁻⁶) = 20628 rad/s

I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 20628·0,005 = 103,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·103,1 = 10,31 V

Відповідь

V_L = 10,31 V

Це в Q = 5,157 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism