Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++10 µC−−4 µCP30 cm

Заряд +10 µC і заряд −4 µC розташовані на відстані 30 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 18 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q1 = +10 µCq2 = −4 µCr1 = 18 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
3 cm6 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +2 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 2 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 1 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 2 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 1 µCq2 = 2 µCq3 = 2 µCr13 = 3 cmr23 = 6 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 25 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​10 ΩBR6​10 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 25 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 ΩR5 = 12 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​5 Vt = 0R = 50 ΩL100 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 5 ms.

Vs = 5 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms
vL = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​24 Vt = 0R = 3,3 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 75 ms.

Vs = 24 VR = 3,3 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 Vt = 75 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 80 cm², N = 500B = 0,2 T

Котушка з 500 витків має площу 80 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,2 Тл, перпендикулярному до її площини, за 50 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 500A = 80 cm²B = 0,2 TΔt = 50 ms
ε = V
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
I = 0,5 Al = 40 cmN = 200, ⌀ 4 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 200 витків, довжину 40 см і діаметр 4 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 0,5 А.

N = 200l = 40 cm⌀ = 4 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 500 HzRL = 5 mHC = ?

Послідовне RLC-коло з L = 5 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f0 = 500 HzL = 5 mH
C = µF
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
12 Vf0​R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 12 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF
VL = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 5,272 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,18² = 2,775 × 10⁶ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0,12² = 2,497 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |2,775 × 10⁶ + 2,497 × 10⁶| = 5,272 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 5,272 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 22,34 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·1·2 × 10⁻¹²/0,03² = 19,98 N
F2 = k·2·2 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N

Векторна сума

F = √(19,98² + 9,989²) = 22,34 N

Відповідь

F = 22,34 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,8772 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 20 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 12·28/(12+28) = 8,4 Ω
Req = R1 + 8,4 = 3 + 8,4 = 11,4 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/11,4 = 0,8772 A

Відповідь

IR1 = 0,8772 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 26,73 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 25 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​10 ΩBR6​10 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 12 + 10 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 6,875 Ω
R3 + 6,875 = 12,88 Ω
R2 ∥ 12,88 = 1,731 Ω
Req = R1 + 1,731 = 25 + 1,731 = 26,73 Ω

Відповідь

Req = 26,73 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 0,4104 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
i(∞) = Vs/R = 5/50 = 0,1 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−5/2 = 0,4104 V

Відповідь

vL = 0,4104 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 20,3 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms
vC(t) = 24 + (18 − 24)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(75) = 24 + (−6)·e−75/155,1 = 20,3 V

Відповідь

vC = 20,3 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 32 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,2·0,008 = 0,0032 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0032/0,05 = 32 V

Відповідь

ε = 32 V
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 19,74 µJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 157,9 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,0001579·0,5² = 1,974 × 10⁻⁵ J = 19,74 µJ

Відповідь

W = 19,74 µJ
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 20,26 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,005) = 20,26 µF

Відповідь

C = 20,26 µF
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 565,7 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 12/15 = 0,8 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 14142·0,05 = 707,1 Ω
VL = I·XL = 0,8·707,1 = 565,7 V

Відповідь

VL = 565,7 V

Це в Q = 47,14 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism