Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +3 µC і +2 µC розташовані на відстані 50 cm. На якій відстані x від заряду +3 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +2 µCd = 50 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 10 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 60 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 60 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 500 ms.

V_s = 20 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 68 µFt = 500 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон, що рухається зі швидкістю 4 × 10⁵ м/с, влітає в однорідне магнітне поле під прямим кутом і рухається по колу радіусом 1,671 см. Знайдіть магнітну індукцію B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁵ m/sr = 1,671 cm

B = T

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 100 витків, довжину 30 см і діаметр 3 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 100l = 30 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 27,53 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

3/x² = 2/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(2/3) = 0,8165

Положення

x = 50/(1 + 0,8165) = 27,53 cm

Відповідь

x = 27,53 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 289 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 10° = 0,0173 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 10° = 0,2084 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2084·√(0,0173/8,99 × 10⁹) = 2,89 × 10⁻⁷ C = 289 nC

Відповідь

q = 289 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,203 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 5·28/(5+28) = 4,242 Ω

R_eq = R₁ + 4,242 = 5 + 4,242 = 9,242 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9,242 = 2,597 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,597·5 = 11,02 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,02/5 = 2,203 A

Відповідь

I_R2 = 2,203 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,8843 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 6 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 6,429 Ω

R₃ + 6,429 = 31,43 Ω

R₂ ∥ 31,43 = 13,92 Ω

R_eq = R₁ + 13,92 = 20 + 13,92 = 33,92 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/33,92 = 0,8843 A

Відповідь

I_R1 = 0,8843 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 0,5152 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0,5 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/2,2 = 0,5152 V

Відповідь

v_L = 0,5152 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 4,567 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 20·6,8/(3,3 + 6,8) = 13,47 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 6,8·68 = 462,4 ms

Розряджання

v_C(t) = 13,47·e^−500/462,4 = 4,567 V

Відповідь

v_C = 4,567 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 0,25 T

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Поле за радіусом

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,01671) = 0,25 T

Відповідь

B = 0,25 T

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 29,61 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,0007069/0,3 = 2,961 × 10⁻⁵ H = 29,61 µH

Відповідь

L = 29,61 µH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,04807 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (246,4)²) = 249,7 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/249,7 = 0,04807 A

Відповідь

I = 0,04807 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 519,1 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Відповідь

f₀ = 519,1 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism