Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд +2 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = +2 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 2 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 30 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 30 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 0,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

i(0) = 0,5 AR = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i₂ через R₂ при t = 20 ms.

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 22 µFt = 20 ms

i₂ = mA

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 200 витків має площу 100 cm². Котушку перевертають (повертають на 180°) в однорідному полі 0,4 Тл, перпендикулярному до її площини, за 250 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 200A = 100 cm²B = 0,4 TΔt = 250 ms

ε = V

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 200 витків, довжину 50 см і діаметр 3 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 1,5 А.

N = 200l = 50 cm⌀ = 3 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,158 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |2,877 × 10⁷ − 7,192 × 10⁶| = 2,158 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 2,158 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 64,63 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 10° = 0,00346 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 10° = 0,1042 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1042·√(0,00346/8,99 × 10⁹) = 6,463 × 10⁻⁸ C = 64,63 nC

Відповідь

q = 64,63 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,6643 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7,097 Ω

R_eq = R₁ + 7,097 = 20 + 7,097 = 27,1 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/27,1 = 0,6643 A

Відповідь

I_R1 = 0,6643 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 29,3 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 25 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 5,294 Ω

R₃ + 5,294 = 9,294 Ω

R₂ ∥ 9,294 = 4,299 Ω

R_eq = R₁ + 4,299 = 25 + 4,299 = 29,3 Ω

Відповідь

R_eq = 29,3 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,2362 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

Спадання струму

i(t) = 0,5·e^−5/6,667 = 0,2362 A

Відповідь

i = 0,2362 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i₂ = 0,3425 mA

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 6·3,3/(10 + 3,3) = 1,489 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 3,3·22 = 72,6 ms

Розряджання

v_C(t) = 1,489·e^−20/72,6 = 1,13 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,13/3,3 = 0,3425 mA

Відповідь

i₂ = 0,3425 mA

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 6,4 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 2·0,4·0,01 = 0,008 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,008/0,25 = 6,4 V

Відповідь

ε = 6,4 V

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 79,94 µJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 71,06 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·7,106 × 10⁻⁵·1,5² = 7,994 × 10⁻⁵ J = 79,94 µJ

Відповідь

W = 79,94 µJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,3964 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (125,2)²) = 126,1 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/126,1 = 0,3964 A

Відповідь

I = 0,3964 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 41,26 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·4,7·10⁻⁶) = 2063 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0,4 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 2063·0,05 = 103,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,4·103,1 = 41,26 V

Відповідь

V_L = 41,26 V

Це в Q = 20,63 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism