Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −10 µC ліворуч, +6 µC праворуч на відстані 10 cm і +5 µC між ними, на відстані 5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = +6 µCq_M = +5 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +1 µC і −1 µC розташовані на відстані 12 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 12 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 12 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 5 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 9,5 V? Знайдіть t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 50 см ковзає зі швидкістю 3 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,8 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 4 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть силу F, потрібну для підтримання сталої швидкості стрижня (тертя немає).

B = 0,8 TL = 50 cmv = 3 m/sR = 4 Ω

F = mN

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 100 витків, довжину 50 см і діаметр 1 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 2,5 А.

N = 100l = 50 cm⌀ = 1 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 287,7 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·10·5 × 10⁻¹²/0,05² = −179,8 N

F_R = −k·6·5 × 10⁻¹²/0,05² = −107,9 N

Результуюча сила

F = −179,8 + (−107,9) = −287,7 N → |F| = 287,7 N

Відповідь

F = 287,7 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 446717 N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(6² + 12²) = 13,42 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1342² = 499444 N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·499444·0,4472 = 446717 N/C

Відповідь

E = 446717 N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,366 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 15·13/(15+13) = 6,964 Ω

R_eq = R₁ + 6,964 = 15 + 6,964 = 21,96 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/21,96 = 1,366 A

Відповідь

I_R1 = 1,366 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,4509 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 2 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 3,385 Ω

R₃ + 3,385 = 8,385 Ω

R₂ ∥ 8,385 = 1,615 Ω

R_eq = R₁ + 1,615 = 25 + 1,615 = 26,61 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/26,61 = 0,4509 A

Відповідь

I_R1 = 0,4509 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1684 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0,1765 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1765·(1 − e^−1/0,3235) = 0,1684 A

Відповідь

i = 0,1684 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 53,36 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

Виразіть час

9,5 = 20 + (−15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,5 − 20)/(5 − 20) = 0,7

t = τ·ln((5 − 20)/(9,5 − 20)) = 149,6·ln(1,429) = 53,36 ms

Відповідь

t = 53,36 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F = 120 mN

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,8·0,5·3 = 1,2 V

Струм

I = ε/R = 1,2/4 = 0,3 A

Гальмівна сила

Правило Ленца: сила, що діє на індукований струм, протидіє руху.

F = BIL = 0,8·0,3·0,5 = 0,12 N

Відповідь

F = 120 mN

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 6,169 µJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 1,974 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·1,974 × 10⁻⁶·2,5² = 6,169 × 10⁻⁶ J = 6,169 µJ

Відповідь

W = 6,169 µJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,4374 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−25,55)²) = 27,44 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/27,44 = 0,4374 A

Відповідь

I = 0,4374 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,006806 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1466)²) = 1469 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/1469 = 0,006806 A

Відповідь

I = 0,006806 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism