Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 80 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,7 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 80 km/ht_r = 0,7 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,2 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 17 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 17 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 1 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 40 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 20 m/s під кутом 40° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 3 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 20 m/sθ = 40°h_roof = 3 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 1500 N/m. На неї кладуть кульку 0,25 kg, стискають пружину на 3 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,25 kgk = 1500 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 20 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 35° і його тягнуть угору сталою силою 260 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 3 m угору схилом.

m = 20 kgF = 260 Nθ = 35°μ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 900 kg, що їде на схід зі швидкістю 9 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1700 kg, що їде на північ зі швидкістю 16 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 900 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля в аеродинамічній трубі показує різницю 250 Pa між тиском гальмування і статичним тиском. Густина повітря 1,2 kg/m³. Знайдіть швидкість повітря v.

p₀ − p = 250 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 50 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 20 mm, розташований на 1,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 50 kPa (надлишковий)h = 1,5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 260 g газу (CO₂) при 250 kPa і 40 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 260 gM = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 40 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 400 kPa і 90 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 400 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 5000 kJ теплоти від резервуара з температурою 550 °C і віддає 1811 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 550 °CQ_H = 5000 kJQ_L = 1811 kJ

T_L = °C

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 22 °C, коли надворі 7 °C, і подає в будинок 7 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 1,2 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 343 m/sn = 3L = 1,2 m

f₃ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Датчик у стані спокою посилає ультразвук 25 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 20 м/с, і змішує відлуння з випроміненим сигналом. Знайдіть частоту биття f_b (швидкість звуку 343 м/с).

f = 25 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 60,45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 22,22·0,7 = 15,56 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·5,5) = 44,89 m

Разом

d = 15,56 + 44,89 = 60,45 m

Відповідь

d = 60,45 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 46,1 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1098))/(2·4,905) = 3,066 s

Глибина

d = ½·9,81·3,066² = 46,1 m

Відповідь

d = 46,1 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,356 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Відповідь

a = 2,356 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 7,848 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 2,943)/6,5 = 7,848 m/s²

Відповідь

a = 7,848 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 40,77 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 45° = 28,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 45° = 28,28 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 28,28²/(2·9,81) = 40,77 m

Відповідь

H = 40,77 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 36,19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 15,32 m/s, v_y = 12,86 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

3 = 12,86·t − 4,905·t²

t = (12,86 + √(12,86² − 2·9,81·3))/9,81 = 2,362 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 15,32·2,362 = 36,19 m

Відповідь

x = 36,19 m

7.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,2752 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·1500·0,03² = 0,675 J

Висота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 0,675/2,453 = 0,2752 m

Відповідь

h = 0,2752 m

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,457 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 112,5 N

μ·mg·cos θ = 48,22 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (260 − 160,8)·3 = 297,7 J

v = √(2·297,7/20) = 5,457 m/s

Відповідь

v = 5,457 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2,143 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 4,5)/(2,5 + 4,5)·3 = −0,8571 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4,5)·3 = 2,143 m/s

Відповідь

v′₂ = 2,143 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 73,42 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 900·9 = 8100 kg·m/s

p_y = 1700·16 = 27200 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 3,358 → θ = 73,42°

Відповідь

θ = 73,42°

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 19,62 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·2 = 19,62 kN

Відповідь

F = 19,62 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 37,08 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·1 = 37,08 kN

Відповідь

F = 37,08 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 20,41 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·250/1,2) = 20,41 m/s

Відповідь

v = 20,41 m/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 11,38 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(50000/1000 + 9,81·1,5)) = 11,38 m/s

Відповідь

v = 11,38 m/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 61,52 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 260/44,01 = 5,908 mol

T = 40 + 273,15 = 313,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 5,908·8,314·313,1/250 = 61,52 L

Відповідь

V = 61,52 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 5,293 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Густина

ρ = 400·39,95/(8,314·363,1) = 5,293 kg/m³

Відповідь

ρ = 5,293 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 24,99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 823,1·1811/5000 = 298,1 K = 24,99 °C

Відповідь

T_L = 24,99 °C

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,3558 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 280,1) = 19,68

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/19,68 = 0,3558 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,3558 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 428,8 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·1,2/3 = 0,8 m

Частота

f = v/λ = 343/0,8 = 428,8 Hz

Відповідь

f₃ = 428,8 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f_b = 3096 Hz

Частота біля автомобіля

f′ = 25000·(343 + 20)/343 = 26458 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 20) = 28096 Hz

Частота биття

f_b = |f″ − f| = 3096 Hz

Відповідь

f_b = 3096 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers