Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 31 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 2 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.
Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 8 s, потім їде зі сталою швидкістю 5 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.
Ящик масою 30 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 40° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.
Брусок масою 8,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.
М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 36 m/s під кутом 35° над горизонталлю в бік стіни на відстані 37 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?
М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
Кулька 5 kg висить на легкій нитці завдовжки 1,5 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 40° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.
Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.
Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′2 другого візка після зіткнення.
Автомобіль масою 800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1100 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 23 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v1 першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.
Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.
Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину ycp центра тиску під поверхнею.
Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 320 kPa, а швидкість 1,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p2 у вузькій частині.
У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 170 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 50 mm, розташований на 3,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².
Резервуар об’ємом 5 L містить 40 g газу (N₂) при 30 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.
Стала кількість газу (N₂) переходить від 200 kPa, 2 L, 30 °C до 550 kPa і 60 °C. Знайдіть новий об’єм V2.
Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 225 °C і холодним при 30 °C. Вона отримує 2700 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу Wmax, яку вона могла б виконати.
Тепловий двигун за цикл отримує 3000 kJ теплоти від резервуара з температурою 500 °C, виконує 930 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 15 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії Sgen за цикл.
Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 75 дБ на відстані 1 м від нього. Знайдіть рівень β2 на відстані 4 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.
Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 10 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 5 см і лінза 2 з f₂ = 12 см. Предмет стоїть на відстані 50 см перед лінзою 1. Знайдіть положення di2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).
Відповідь: t = 31 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 62 m/s.
Відповідь: s = 88 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: F = 256,8 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Стала швидкість: сили зрівноважені.
Відповідь: T = 37,52 N
Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.
Відповідь: y = 18,19 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Біля стіни м’яч ще піднімається.
Відповідь: x = 106,1 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: T = 72 N
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.
Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 72 N.
Відповідь: x = 41,43 cm
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′2 = 10,91 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: v1 = 43,69 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: F = 103 kN
Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.
Відповідь: ycp = 4,667 m
Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.
Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.
Відповідь: p2 = 307,2 kPa
Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.
Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.
Відповідь: v = 20,22 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Відповідь: P = 719,9 kPa
Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.
Відповідь: V2 = 0,7992 L
Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P1V1/T1 = P2V2/T2.
Відповідь: Wmax = 1057 kJ
Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.
Відповідь: Sgen = 3,304 kJ/K
Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає QH/TH, а холодний отримує QL/TL. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.
Sgen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.
Відповідь: β2 = 62,96 dB
Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).
Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.
Відповідь: di2 = −7,059 cm
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers