Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 40 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 40° над горизонталлю із силою 70 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 40 kgF = 70 Nθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 95 N тягне передній брусок масою 11 kg; брусок масою 5 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 5 kgm₂ = 11 kgF = 95 Nμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 45° над горизонталлю, і він падає на відстані 115 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 45°R = 115 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 35 m/s під кутом 50° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 17 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 35 m/sθ = 50°h_roof = 17 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 3 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 40°μ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 6,4 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 2 m. Знайдіть швидкість v візка у верхній точці петлі.

m = 10 kgh = 6,4 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 13 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 34 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 6 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 91 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 7 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 13 kgu = 34 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 91 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 12 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 16 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,25 kgv_in = 12 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля у водопровідній трубі показує різницю 20 kPa між тиском гальмування і статичним тиском. Знайдіть швидкість води v біля носика трубки.

p₀ − p = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 20 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 2,5 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 1 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q.

d = 20 mmz_C = +2,5 mz₂ = −1 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 40 g газу (CO₂) при 150 kPa і 60 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 40 gM = 44,01 g/molP = 150 kPaT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CO₂) переходить від 100 kPa, 2 L, 30 °C до 150 kPa і 240 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 425 °C і холодним при 40 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 425 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 22 °C, коли надворі -10 °C, і подає в будинок 10 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 60 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 60 cmf = 15 cm

d_i = cm

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 480 нм падає на дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,5 м. Знайдіть відстань y₃ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 3.

λ = 480 nmd = 0,2 mmL = 1,5 mm = 3

y₃ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 50 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·4) = 50 m

Відповідь

s = 50 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 41,83 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Висота над землею

h_max = 40 + 1,835 = 41,83 m

Відповідь

h_max = 41,83 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,4721 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 70·sin 40° = 347,4 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 53,62 − 34,74

a = 18,88/40 = 0,4721 m/s²

Відповідь

a = 0,4721 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 29,69 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 47,09)/16 = 2,994 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(2,994 + 2,943) = 29,69 N

Відповідь

T = 29,69 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 33,59 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·115/sin 90°) = 33,59 m/s

Відповідь

v₀ = 33,59 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 106,5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 22,5 m/s, v_y = 26,81 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

17 = 26,81·t − 4,905·t²

t = (26,81 + √(26,81² − 2·9,81·17))/9,81 = 4,734 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 22,5·4,734 = 106,5 m

Відповідь

x = 106,5 m

7.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 3,382 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,766 = 3,757 N

F = μN = 0,3·3,757 = 1,127 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,127·3 = 3,382 J

Відповідь

W_f = 3,382 J

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,862 m/s

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6,4 − 4) = 47,09 m²/s²

v = 6,862 m/s

Відповідь

v = 6,862 m/s

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −14,86 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 13·34 = 442 kg·m/s

Імпульс після удару

442 = 6·91 + 7·v′₂

v′₂ = (442 − 546)/7 = −14,86 m/s

Відповідь

v′₂ = −14,86 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 350 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(16 + 12) = 7 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 7/0,02 = 350 N

Відповідь

F_avg = 350 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 50,9 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,25·2,25 = 50,9 kN

Відповідь

F = 50,9 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 6,325 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·20000/1000) = 6,325 m/s

Відповідь

v = 6,325 m/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 1,392 L/s

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,0003142·4,429 = 0,001392 m³/s = 1,392 L/s

Відповідь

Q = 1,392 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 16,78 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 40/44,01 = 0,9089 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 0,9089·8,314·333,1/150 = 16,78 L

Відповідь

V = 16,78 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 2,257 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 303,1 K, T₂ = 513,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(100/150)·(513,1/303,1) = 2,257 L

Відповідь

V₂ = 2,257 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 55,15 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 425 + 273,15 = 698,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/698,1 = 55,15 %

Відповідь

η_max = 55,15 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 1,084 kW

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 263,1) = 9,223

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/9,223 = 1,084 kW

Відповідь

Ẇ_min = 1,084 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 20 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/60

d_i = 20 cm

Хід променів

дійсне, з іншого боку лінзи

Відповідь

d_i = 20 cm

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₃ = 10,8 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1,5/(0,2 × 10⁻³) = 3,6 mm

Смуга номер 3

y₃ = 3·3,6 = 10,8 mm

Відповідь

y₃ = 10,8 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers