Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 11 s, потім їде зі сталою швидкістю 23 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 23 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 6 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 32 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 35 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 35 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1200 kg піднімається схилом 2° зі сталою швидкістю 54 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 300 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1200 kgθ = 2°F_r = 300 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,1). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 1,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,1d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 13 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,25 kgv_in = 13 m/sv_out = 20 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 0,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 150 mm до 75 mm. У широкій частині тиск 130 kPa, а швидкість 2,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 130 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm і піднімається на 2 m. У перерізі 1 тиск 200 kPa, а швидкість 2,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 5 L містить 500 g газу (Ar) при 15 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 500 gM = 39,95 g/molV = 5 LT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CH₄) переходить від 350 kPa, 10 L, 10 °C до 400 kPa і 90 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 10 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері 5 °C, відводячи 9,5 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 28 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = 5 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 9,5 kW

Q̇_H = kW

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 22 °C, коли надворі 5 °C, і подає в будинок 11 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 11 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: гармоніка номер 3 має становити 343 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 343 Hz

L = m

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 40 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 50 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 40 cmR = 50 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 70,15 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·5,5) = 70,15 m

Відповідь

s = 70,15 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 504,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·11 = 16,5 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1,5·11² = 90,75 m

s₂ = 16,5·23 = 379,5 m

s₃ = 16,5²/(2·4) = 34,03 m

Повна відстань

s = 90,75 + 379,5 + 34,03 = 504,3 m

Відповідь

s = 504,3 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,421 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

Відповідь

a = 4,421 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 21,69 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/9,5 = 3,614 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·3,614 + 0 = 21,69 N

Відповідь

T = 21,69 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 67,1 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 70° = 10,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 70° = 30,07 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·30,07/9,81 = 6,131 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,94·6,131 = 67,1 m

Відповідь

x = 67,1 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 60,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 35·sin 40° = 22,5 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 22,5²/(2·9,81) = 25,8 m

Висота над землею

H = 35 + 25,8 = 60,8 m

Відповідь

H = 60,8 m

7.Робота й енергія

Відповідь: P = 10,66 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 2° = 410,8 N

F = 410,8 + 300 = 710,8 N

Потужність

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 710,8·15 = 10663 W = 10,66 kW

Відповідь

P = 10,66 kW

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,639 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·1,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,1·49,05·1,5 = 7,358 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 66,22 → v = √(2·66,22/10) = 3,639 m/s

Відповідь

v = 3,639 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −5,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 5)/(1 + 5)·8 = −5,333 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 5)·8 = 2,667 m/s

Відповідь

v′₁ = −5,333 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 1650 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(20 + 13) = 8,25 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 8,25/0,005 = 1650 N

Відповідь

F_avg = 1650 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 128,8 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Відповідь

F = 128,8 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,375 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·6 = 120,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 4,5/(2·6) = 2,375 m

Відповідь

y_cp = 2,375 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 83,13 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(150/75)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 130 + (−46,88) = 83,13 kPa

Відповідь

p₂ = 83,13 kPa

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 137,4 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−42,95) − 19,62 = 137,4 kPa

Відповідь

p₂ = 137,4 kPa

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 5997 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 500/39,95 = 12,52 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Тиск

P = nRT/V = 12,52·8,314·288,1/0,005 = 5997 kPa

Відповідь

P = 5997 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 11,22 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 283,1 K, T₂ = 363,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/400)·(363,1/283,1) = 11,22 L

Відповідь

V₂ = 11,22 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 10,29 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9,5·301,1/278,1 = 10,29 kW

Відповідь

Q̇_H = 10,29 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,7855 kW.

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,6336 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 278,1) = 17,36

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 11/17,36 = 0,6336 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,6336 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,75 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/343 = 1 m

Довжина

L = nλ/4 = 3·1/4 = 0,75 m

Відповідь

L = 0,75 m

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 66,67 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 25 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/40

d_i = 66,67 cm

Хід променів

дійсне зображення перед дзеркалом

Відповідь

d_i = 66,67 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers