Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 1,75 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1700 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 7 s, потім їде зі сталою швидкістю 11 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 11 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 13 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 13 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 24 m/s під кутом 55° над горизонталлю в бік стіни на відстані 11 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 24 m/sθ = 55°x = 11 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 50 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 120 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 120 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 1 mL = 1,5 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 14 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 35 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 3 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 63 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 11 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 14 kgu = 35 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 63 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 2000 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 14 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 800 kgm₂ = 2000 kgd = 14 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 40 mm. Рівень води підтримують на 4 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,64. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 4 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 100 mm, горловина 50 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 160 mm. Коефіцієнт витрати 0,98. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 160 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 300 g газу (CO₂) при 90 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 300 gM = 44,01 g/molV = 10 LT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (O₂) при 150 kPa і 120 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 32 g/molP = 150 kPaT = 120 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотна холодильна машина підтримує в холодильній камері 4 °C, відводячи 6,5 kW теплоти, і віддає теплоту довкіллю з температурою 40 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇_H, який вона віддає.

T_L = 4 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 6,5 kW

Q̇_H = kW

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий двигун за цикл отримує 4000 kJ теплоти від резервуара з температурою 450 °C, виконує 1440 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 20 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії S_gen за цикл.

T_H = 450 °CT_L = 20 °CQ_H = 4000 kJW = 1440 kJ

S_gen = kJ/K

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 2 см стоїть на відстані 20 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 25 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 2 cmd_o = 20 cmf = 25 cm

h_i = cm

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 30 кГц до автомобіля, що віддаляється зі швидкістю 20 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 30 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 77,14 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1700) = 77,14 m/s

Відповідь

v = 77,14 m/s

(277,7 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 20,63 s

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 10,5/4 = 2,625 s

Загальний час

t = 7 + 11 + 2,625 = 20,63 s

Відповідь

t = 20,63 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,812 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Відповідь

a = 2,812 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,199 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 6,377)/12,5 = 4,199 m/s²

Відповідь

a = 4,199 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 12,58 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 24·cos 55° = 13,77 m/s

t = x/v_x = 11/13,77 = 0,7991 s

Висота в цей момент

y = 19,66·0,7991 − ½·9,81·0,7991² = 12,58 m

Відповідь

y = 12,58 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,181 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8,551 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 50 + 8,551·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,551 + √(73,11 + 981))/9,81 = 4,181 s

Відповідь

t = 4,181 s

7.Робота й енергія

Відповідь: d = 70,79 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33,33²/(2·0,8·9,81) = 70,79 m

Відповідь

d = 70,79 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,706 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(1 − 0,2·1,5) = 6,867 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,7) = 3,706 m/s

Відповідь

v = 3,706 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 27,36 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 14·35 = 490 kg·m/s

Імпульс після удару

490 = 3·63 + 11·v′₂

v′₂ = (490 − 189)/11 = 27,36 m/s

Відповідь

v′₂ = 27,36 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 51,88 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·14) = 14,82 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·14,82/800 = 51,88 m/s

Відповідь

v₁ = 51,88 m/s

(186,8 km/h)

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 159,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN

Відповідь

F = 159,4 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,667 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·9 = 397,3 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 6,75/(4,5·9) = 4,667 m

Відповідь

y_cp = 4,667 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 7,125 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,001257·8,859 = 0,007125 m³/s = 7,125 L/s

Відповідь

Q = 7,125 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 12,5 L/s

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,16 = 19777 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 50/100 = 0,5

v₂ = √(2·19777/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,495 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,001963·6,495 = 0,0125 m³/s = 12,5 L/s

Відповідь

Q = 12,5 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 2058 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 300/44,01 = 6,817 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Тиск

P = nRT/V = 6,817·8,314·363,1/0,01 = 2058 kPa

Відповідь

P = 2058 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,468 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273,15 = 393,1 K

Густина

ρ = 150·32/(8,314·393,1) = 1,468 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,468 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Q̇_H = 7,344 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 40 + 273,15 = 313,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6,5·313,1/277,1 = 7,344 kW

Відповідь

Q̇_H = 7,344 kW

Споживана потужність: Ẇ = 0,8443 kW.

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: S_gen = 3,201 kJ/K

Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає Q_H/T_H, а холодний отримує Q_L/T_L. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.

Відведена теплота

Q_L = Q_H − W = 4000 − 1440 = 2560 kJ

Абсолютні температури

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

Зміни ентропії резервуарів

ΔS_H = −4000/723,1 = −5,531 kJ/K

ΔS_L = 2560/293,1 = 8,733 kJ/K

S_gen = 8,733 − 5,531 = 3,201 kJ/K

Відповідь

S_gen = 3,201 kJ/K

S_gen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = 10 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/20

d_i = −100 cm

Збільшення і висота

m = −(−100)/20 = 5

h_i = 5·2 = 10 cm

Відповідь

h_i = 10 cm

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 26694 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Частота біля автомобіля

f′ = 30000·(343 − 20)/343 = 28251 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 + 20) = 26694 Hz

Відповідь

f″ = 26694 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers