Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 12 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 7,5 m/s і зупиняється, пройшовши 19 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 7,5 m/sd = 19 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 45° над горизонталлю, і він падає на відстані 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 45°R = 30 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 70 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 70 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 3,5 mL = 5 mμ = 0,3k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 11 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 35 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 6 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 90 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 5 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 11 kgu = 35 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 90 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 13 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 4 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,4 kgv_in = 13 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 40 mm. Рівень води підтримують на 4 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,64. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 4 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 100 mm і надлишковий тиск 70 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 30 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 70 kPa (надлишковий)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 230 g газу (O₂) при 95 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 230 gM = 32 g/molV = 10 LT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CO₂) при 850 kPa і 10 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 44,01 g/molP = 850 kPaT = 10 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 550 °C і холодним при 15 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 550 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -25 °C на кухні при 28 °C, відводячи з камери теплоту 4,5 kW. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 28 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 4,5 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «кронове скло» (n = 1,50) до плоскої межі із середовищем «повітря» (n = 1,00). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 1,50n₂ = 1,00

θ_c = °

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 6 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 30 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 6 cmR = 30 cm

m =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 6,944 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/4 = 6,944 s

Відповідь

t = 6,944 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 12,34 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9,81) = 7,339 m

Висота над землею

h_max = 5 + 7,339 = 12,34 m

Відповідь

h_max = 12,34 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1509

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 7,5²/(2·19) = 1,48 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,48/9,81 = 0,1509

Відповідь

μ = 0,1509

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,13 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 6,377)/10,5 = 3,13 m/s²

Відповідь

a = 3,13 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 17,16 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·30/sin 90°) = 17,16 m/s

Відповідь

v₀ = 17,16 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,799 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 60° = 10 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 60° = 17,32 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 17,32·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,32 + √(300 + 98,1))/9,81 = 3,799 s

Відповідь

t = 3,799 s

7.Робота й енергія

Відповідь: d = 32,12 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,6·9,81) = 32,12 m

Відповідь

d = 32,12 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 12,53 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(3,5 − 0,3·5) = 39,24 J

Найбільше стиснення

½kx² = 39,24 → x = √(2·39,24/5000) = 0,1253 m = 12,53 cm

Відповідь

x = 12,53 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −31 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 11·35 = 385 kg·m/s

Імпульс після удару

385 = 6·90 + 5·v′₂

v′₂ = (385 − 540)/5 = −31 m/s

Відповідь

v′₂ = −31 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 6,8 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(4 + 13) = 6,8 N·s

Відповідь

J = 6,8 N·s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 5,067 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 0,6667/(5·2) = 5,067 m

Відповідь

y_cp = 5,067 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 7,125 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,001257·8,859 = 0,007125 m³/s = 7,125 L/s

Відповідь

Q = 7,125 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 7,194 m

Швидкість на виході

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0,9919)) = 11,88 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 11,88²/(2·9,81) = 7,194 m

Відповідь

H = 7,194 m

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 2200 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 230/32 = 7,188 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Тиск

P = nRT/V = 7,188·8,314·368,1/0,01 = 2200 kPa

Відповідь

P = 2200 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 15,89 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273,15 = 283,1 K

Густина

ρ = 850·44,01/(8,314·283,1) = 15,89 kg/m³

Відповідь

ρ = 15,89 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 64,99 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 550 + 273,15 = 823,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/823,1 = 64,99 %

Відповідь

η_max = 64,99 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,9611 kW

Абсолютні температури

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(301,1 − 248,1) = 4,682

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4,5/4,682 = 0,9611 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,9611 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 41,81 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,50 = 0,6667

Критичний кут

θc = arcsin(0,6667) = 41,81°

Відповідь

θ_c = 41,81°

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 1,667

Фокусна відстань

f = R/2 = 15 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/6

d_i = −10 cm

Збільшення

m = −(−10)/6 = 1,667

Відповідь

m = 1,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers