Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 108 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 108 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 30 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 20 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 30 mv_0B = 20 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 9 m/s і зупиняється, пройшовши 17 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 9 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 8 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 8 m/sθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 65 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 65 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 20 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1800 kg піднімається схилом 6° зі сталою швидкістю 54 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 600 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 10 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 9 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 3,5 kgh = 9 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 17 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,5 kgv_in = 17 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля у водопровідній трубі показує різницю 16 kPa між тиском гальмування і статичним тиском. Знайдіть швидкість води v біля носика трубки.

p₀ − p = 16 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 250 mm, горловина 125 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 400 mm. Коефіцієнт витрати 0,96. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 400 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 240 g газу (N₂) при 150 kPa і 75 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 240 gM = 28,01 g/molP = 150 kPaT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (Ar) при 350 kPa і 170 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 39,95 g/molP = 350 kPaT = 170 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 700 °C і холодним при 40 °C. Вона отримує 1000 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 700 °CT_L = 40 °CQ_H = 1000 kJ

W_max = kJ

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 20 °C, коли надворі 5 °C, і подає в будинок 14 kW теплоти. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 20 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 14 kW

COP_max =

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 8 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 25 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 8 cmf = 25 cm

d_i = cm

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 650 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,2 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 1 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 650 nma = 0,2 mmL = 1 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 69,23 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6,5) = 69,23 m

Відповідь

s = 69,23 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 1,5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

30 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 30/20 = 1,5 s

Відповідь

t = 1,5 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2428

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·17) = 2,382 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,382/9,81 = 0,2428

Відповідь

μ = 0,2428

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 4,697 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,3·cos 25°) = 6,813 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·6,813) = 4,697 m

Відповідь

d = 4,697 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 19,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·65/32² = 0,6227

Кут

2θ = 38,51° → θ = 19,26°

Відповідь

θ = 19,26°

Інший розв’язок 90° − θ = 70,74°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 28,68 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 20·sin 55° = 16,38 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 16,38²/(2·9,81) = 13,68 m

Висота над землею

H = 15 + 13,68 = 28,68 m

Відповідь

H = 28,68 m

7.Робота й енергія

Відповідь: P = 36,69 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 600 = 2446 N

Потужність

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 2446·15 = 36686 W = 36,69 kW

Відповідь

P = 36,69 kW

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 52,78 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(4 − 0,1·4,5) = 348,3 J

Найбільше стиснення

½kx² = 348,3 → x = √(2·348,3/2500) = 0,5278 m = 52,78 cm

Відповідь

x = 52,78 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 466,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,09) = 1,329 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 3,5)·1,329/0,01 = 466,4 m/s

Відповідь

v = 466,4 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 11 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(5 + 17) = 11 N·s

Відповідь

J = 11 N·s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 110,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Відповідь

F = 110,4 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 98,88 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·4 = 98,88 kN

Відповідь

F = 98,88 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 5,657 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·16000/1000) = 5,657 m/s

Відповідь

v = 5,657 m/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 121 L/s

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,4 = 49442 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·49442/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,27 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,01227·10,27 = 0,121 m³/s = 121 L/s

Відповідь

Q = 121 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 165,3 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 240/28,01 = 8,568 mol

T = 75 + 273,15 = 348,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 8,568·8,314·348,1/150 = 165,3 L

Відповідь

V = 165,3 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 3,795 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273,15 = 443,1 K

Густина

ρ = 350·39,95/(8,314·443,1) = 3,795 kg/m³

Відповідь

ρ = 3,795 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 678,2 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/973,1 = 67,82 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,6782·1000 = 678,2 kJ

Відповідь

W_max = 678,2 kJ

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 19,54

Абсолютні температури

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293,1/(293,1 − 278,1) = 19,54

Відповідь

COP_max = 19,54

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −11,76 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/8

d_i = −11,76 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −11,76 cm

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 6,5 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·1/(0,2 × 10⁻³) = 3,25 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 6,5 mm

Відповідь

w = 6,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers