Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 90 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 21 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 4 st₂ = 21 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 38 m/s під кутом 50° над горизонталлю в бік стіни на відстані 29 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 38 m/sθ = 50°x = 29 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 40 m/s під кутом 35° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 5 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 40 m/sθ = 35°h_roof = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 2000 N/m. На неї кладуть кульку 0,2 kg, стискають пружину на 3 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,2 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1800 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1000 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1800 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 17 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,3 kgv_in = 17 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 39 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 150 mm до 100 mm. Тиск у вузькій ділянці 240 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 39 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 240 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 100 mm, горловина 50 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 300 mm. Коефіцієнт витрати 0,98. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 300 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 470 g газу (O₂) при 550 kPa і 95 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 470 gM = 32 g/molP = 550 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (O₂) при 450 kPa і 110 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 32 g/molP = 450 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 200 °C і холодним при 30 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 200 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 22 °C, коли надворі 2 °C, і подає в будинок 8 kW теплоти. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 22 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 8 kW

COP_max =

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,5 м, хвилі поширюються зі швидкістю 300 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 300 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 20 см перед опукле дзеркалом із радіусом кривини 40 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 20 cmR = 40 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 8,333 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/3 = 8,333 s

Відповідь

t = 8,333 s

2.Кінематика

Відповідь: s = 192 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2·4 = 8 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·2·4² = 16 m

s₂ = 8·21 = 168 m

s₃ = 8²/(2·4) = 8 m

Повна відстань

s = 16 + 168 + 8 = 192 m

Відповідь

s = 192 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,257 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,1·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,09063) = 3,257 m/s²

Відповідь

a = 3,257 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,27 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 0)/7,5 = 3,27 m/s²

Відповідь

a = 3,27 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 27,65 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 38·cos 50° = 24,43 m/s

t = x/v_x = 29/24,43 = 1,187 s

Висота в цей момент

y = 29,11·1,187 − ½·9,81·1,187² = 27,65 m

Відповідь

y = 27,65 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 145,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 32,77 m/s, v_y = 22,94 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

5 = 22,94·t − 4,905·t²

t = (22,94 + √(22,94² − 2·9,81·5))/9,81 = 4,448 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 32,77·4,448 = 145,8 m

Відповідь

x = 145,8 m

7.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,4587 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·2000·0,03² = 0,9 J

Висота

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

h = ½kx²/(mg) = 0,9/1,962 = 0,4587 m

Відповідь

h = 0,4587 m

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 13,44 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(2,5 − 0,3·4,5) = 45,13 J

Найбільше стиснення

½kx² = 45,13 → x = √(2·45,13/5000) = 0,1344 m = 13,44 cm

Відповідь

x = 13,44 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 35,71 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·7/2800 = 4,5 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1800·7² = 44100 J

K_after = ½·2800·4,5² = 28350 J

Втрачена частка

ΔK/K = 15750/44100 = 35,71 %

Відповідь

ΔK/K = 35,71 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 6,6 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(5 + 17) = 6,6 N·s

Відповідь

J = 6,6 N·s

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 128,8 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·2,5 = 128,8 kN

Відповідь

F = 128,8 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 54,08 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,75·2,5 = 54,08 kN

Відповідь

F = 54,08 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 249,9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,039/0,01767 = 2,207 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,039/0,007854 = 4,966 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 240 + ½·1000·(4,966² − 2,207²)/1000 = 240 + 9,893 = 249,9 kPa

Відповідь

p₁ = 249,9 kPa

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 17,11 L/s

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,3 = 37082 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 50/100 = 0,5

v₂ = √(2·37082/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,894 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,001963·8,894 = 0,01711 m³/s = 17,11 L/s

Відповідь

Q = 17,11 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 81,74 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 470/32 = 14,69 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 14,69·8,314·368,1/550 = 81,74 L

Відповідь

V = 81,74 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 4,52 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Густина

ρ = 450·32/(8,314·383,1) = 4,52 kg/m³

Відповідь

ρ = 4,52 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 35,93 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 200 + 273,15 = 473,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/473,1 = 35,93 %

Відповідь

η_max = 35,93 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 14,76

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 275,1) = 14,76

Відповідь

COP_max = 14,76

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 1500 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,5/5 = 0,2 m

Частота

f = v/λ = 300/0,2 = 1500 Hz

Відповідь

f₅ = 1500 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −10 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = −R/2 = −20 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/20

d_i = −10 cm

Хід променів

уявне зображення за дзеркалом

Відповідь

d_i = −10 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers