Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,5 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1200 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 15 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 14 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 15 mv_0B = 14 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 35 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 15° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 35 kgθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 40° над горизонталлю, і він падає на відстані 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 40°R = 40 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 17 m/s під кутом 35° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 2 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 17 m/sθ = 35°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 1 kg ковзає 14 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 1 kgθ = 30°μ = 0,25d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 3 mL = 2 mμ = 0,25k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 8 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 7 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,1 kgv_in = 8 m/sv_out = 7 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm. У широкій частині тиск 310 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 100 mm, горловина 60 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 140 mm. Коефіцієнт витрати 0,98. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 140 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 10 L містить 260 g газу (CO₂) при 60 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 260 gM = 44,01 g/molV = 10 LT = 60 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (CH₄) при 350 kPa і 80 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 16,04 g/molP = 350 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 725 °C і холодним при 20 °C. Знайдіть найбільший можливий термічний ККД η_max.

T_H = 725 °CT_L = 20 °C

η_max = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері -10 °C на кухні при 32 °C, відводячи з камери теплоту 5 kW. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 32 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 25 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 25 cmf = 15 cm

m =

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 25 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 10 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 25 cmR = 10 cm

m =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 91,65 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1200) = 91,65 m/s

Відповідь

v = 91,65 m/s

(329,9 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: y = 9,369 m

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 15/14 = 1,071 s

Висота зустрічі

y = 14·1,071 − ½·9,81·1,071² = 9,369 m

Відповідь

y = 9,369 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 155,2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 88,87 + 66,33 = 155,2 N

Відповідь

F = 155,2 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,227 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 49,05 N

m₁·g·sin θ = 16,78 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (49,05 − 16,78 − 0)/10 = 3,227 m/s²

Відповідь

a = 3,227 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 19,96 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·40/sin 80°) = 19,96 m/s

Відповідь

v₀ = 19,96 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 24,45 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 13,93 m/s, v_y = 9,751 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

2 = 9,751·t − 4,905·t²

t = (9,751 + √(9,751² − 2·9,81·2))/9,81 = 1,756 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 13,93·1,756 = 24,45 m

Відповідь

x = 24,45 m

7.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 29,73 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 9,81·0,866 = 8,496 N

F = μN = 0,25·8,496 = 2,124 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 2,124·14 = 29,73 J

Відповідь

W_f = 29,73 J

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 28,59 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(3 − 0,25·2) = 61,31 J

Найбільше стиснення

½kx² = 61,31 → x = √(2·61,31/1500) = 0,2859 m = 28,59 cm

Відповідь

x = 28,59 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 1,8 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·9 = 1,8 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·9 = 10,8 m/s

Відповідь

v′₁ = 1,8 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 300 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(7 + 8) = 1,5 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 1,5/0,005 = 300 N

Відповідь

F_avg = 300 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 264,9 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Відповідь

F = 264,9 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 129,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·3 = 129,8 kN

Відповідь

F = 129,8 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 305,7 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/75)² = 3,556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 3,556²)/1000 = −4,321 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−4,321) = 305,7 kPa

Відповідь

p₂ = 305,7 kPa

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 17,47 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,14 = 17305 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 60/100 = 0,6

v₂ = √(2·17305/(1000·(1 − 0,1296))) = 6,306 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,002827·6,306 = 0,01747 m³/s = 17,47 L/s

Відповідь

Q = 17,47 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 1636 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 260/44,01 = 5,908 mol

T = 60 + 273,15 = 333,1 K

Тиск

P = nRT/V = 5,908·8,314·333,1/0,01 = 1636 kPa

Відповідь

P = 1636 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 1,912 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Густина

ρ = 350·16,04/(8,314·353,1) = 1,912 kg/m³

Відповідь

ρ = 1,912 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_max = 70,63 %

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 725 + 273,15 = 998,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/998,1 = 70,63 %

Відповідь

η_max = 70,63 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 6,265

Абсолютні температури

T_H = 32 + 273,15 = 305,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263,1/(305,1 − 263,1) = 6,265

Відповідь

COP_max = 6,265

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −1,5

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37,5 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −37,5/25 = −1,5

Відповідь

m = −1,5

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,25

Фокусна відстань

f = R/2 = 5 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/25

d_i = 6,25 cm

Збільшення

m = −6,25/25 = −0,25

Відповідь

m = −0,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers