Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 9 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 13 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 13 kgθ = 45°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 20 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Кулька 2 kg висить на легкій нитці завдовжки 1,5 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 50° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 2 kgL = 1,5 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 2 mL = 2,5 mμ = 0,3k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1700 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1900 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1700 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,35 kg ударяється об стіну зі швидкістю 25 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 9 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,35 kgv_in = 25 m/sv_out = 9 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 200 mm і діаметром горловини 100 mm. Тиск на вході на 38 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 38 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm і піднімається на 4 m. У перерізі 1 тиск 160 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 330 g газу (CH₄) при 100 kPa і 85 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 330 gM = 16,04 g/molP = 100 kPaT = 85 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (CO₂) переходить від 150 kPa, 20 L, 25 °C до 400 kPa і 230 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 20 LT₁ = 25 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 300 °C і холодним при 35 °C. Вона отримує 3000 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу W_max, яку вона могла б виконати.

T_H = 300 °CT_L = 35 °CQ_H = 3000 kJ

W_max = kJ

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Холодильник підтримує в холодній камері 2 °C на кухні при 25 °C, відводячи з камери теплоту 3 kW. Знайдіть найбільший можливий холодильний коефіцієнт COP_max.

T_H = 25 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 3 kW

COP_max =

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 15 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 20 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 15 cmf = −20 cm

d_i = cm

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 600 лініями на міліметр показує максимум порядку 1 спектральної лінії під кутом 18,6° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 600 mm⁻¹θ₁ = 18,6°m = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 14,06 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·8) = 14,06 m

Відповідь

s = 14,06 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,742 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−35 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 35 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·35))/9,81 = 3,742 s

Відповідь

t = 3,742 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,896 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,15·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1061) = 5,896 m/s²

Відповідь

a = 5,896 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,5163 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 14,71)/9,5 = 0,5163 m/s²

Відповідь

a = 0,5163 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 15,31 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·5,917/9,81 = 1,206 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,69·1,206 = 15,31 m

Відповідь

x = 15,31 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 34,38 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8,03 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 20 + 8,03·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,03 + √(64,48 + 392,4))/9,81 = 2,997 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11,47·2,997 = 34,38 m

Відповідь

x = 34,38 m

7.Робота й енергія

Відповідь: T = 33,64 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1,5·(1 − cos 50°) = 10,51 m²/s²

Сили внизу

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·10,51/1,5 = 33,64 N

Відповідь

T = 33,64 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 33,64 N.

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 15,66 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(2 − 0,3·2,5) = 12,26 J

Найбільше стиснення

½kx² = 12,26 → x = √(2·12,26/1000) = 0,1566 m = 15,66 cm

Відповідь

x = 15,66 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 21982 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·7/3600 = 3,306 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1700·7² = 41650 J

K_after = ½·3600·3,306² = 19668 J

Втрачена енергія

ΔK = 41650 − 19668 = 21982 J

Відповідь

ΔK = 21982 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 2380 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,35·(9 + 25) = 11,9 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 11,9/0,005 = 2380 N

Відповідь

F_avg = 2380 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 165,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Відповідь

F = 165,5 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,373 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,25 + 2,604/(4,25·5) = 4,373 m

Відповідь

y_cp = 4,373 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 70,71 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(100/200)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·38000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,004 m/s

v₁ = 2,251 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,007854·9,004 = 0,07071 m³/s = 70,71 L/s

Відповідь

Q = 70,71 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 116,4 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/75)² = 3,556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 3,556²)/1000 = −4,321 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−4,321) − 39,24 = 116,4 kPa

Відповідь

p₂ = 116,4 kPa

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 612,6 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 330/16,04 = 20,57 mol

T = 85 + 273,15 = 358,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 20,57·8,314·358,1/100 = 612,6 L

Відповідь

V = 612,6 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 12,66 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 298,1 K, T₂ = 503,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(150/400)·(503,1/298,1) = 12,66 L

Відповідь

V₂ = 12,66 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: W_max = 1387 kJ

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

ККД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/573,1 = 46,24 %

Максимальна робота

W_max = η_max·Q_H = 0,4624·3000 = 1387 kJ

Відповідь

W_max = 1387 kJ

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: COP_max = 11,96

Абсолютні температури

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Найкращий можливий COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275,1/(298,1 − 275,1) = 11,96

Відповідь

COP_max = 11,96

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −8,571 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/15

d_i = −8,571 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −8,571 cm

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 531,6 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 1,667 × 10⁻⁶·sin 18,6°/1 = 531,6 nm

Відповідь

λ = 531,6 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers