Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Знижувальний перетворювач перетворює 48 V на 36 V для навантаження 25 Ω. Він комутується на частоті 250 kHz при L = 150 µH. Знайдіть піковий струм котушки Imax.
Ідеальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на −56 V для навантаження 10 Ω на частоті 100 kHz. Вихідний конденсатор має 10 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.
Двигун постійного струму (k = 0,75 N·m/A, Ra = 2 Ω) працює від 120 V і приводить навантаження з моментом 3 N·m. Знайдіть його швидкість n у rpm.
V = 120 Vk = 0,75 N·m/ARa = 2 ΩT = 3 N·m
n = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Двигун постійного струму незалежного збудження на 120 V (Ra = 0,4 Ω) обертається з 1800 rpm при струмі якоря 10 A. Навантаження змінюється, і струм стає 20 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n2.
V = 120 VRa = 0,4 Ωn1 = 1800 rpmIa1 = 10 AIa2 = 20 A
n2 = rpm
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Навантаження з повним опором Z = 6 + j8 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.
V = 230 VZ = 6 + j8 Ω
Q = var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 8 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 330 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.
P = 8 kWpf1 = 0,6V = 230 Vf = 50 HzC = 330 µF
cos φ =
7.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 5 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 415 VZ = 5 + j12 Ω на фазу
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Imax = 1,56 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 36/48 = 0,75
Середній струм і пульсації струму
Io = 36/25 = 1,44 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,75/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0,24 A
Піковий струм
Imax = 1,44 + 0,24/2 = 1,56 A
Відповідь
Imax = 1,56 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔVo = 3920 mV
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 56/(24 + 56) = 0,7
Струм навантаження
Io = 56/10 = 5,6 A
Пульсації виходу
ΔVo = 5,6·0,7/(100·10³·10·10⁻⁶) = 3920 mV
Відповідь
ΔVo = 3920 mV
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: n = 1426 rpm
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Струм якоря
Ia = T/k = 3/0,75 = 4 A
Зворотна ЕРС і швидкість
E = 120 − 4·2 = 112 V
ω = E/k = 149,3 rad/s → n = 1426 rpm
Відповідь
n = 1426 rpm
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: n2 = 1738 rpm
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Зворотна ЕРС до і після
E1 = 120 − 10·0,4 = 116 V
E2 = 120 − 20·0,4 = 112 V
Нова швидкість
n2 = 1800·112/116 = 1738 rpm
Відповідь
n2 = 1738 rpm
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Q = 4232 var
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A
Реактивна потужність
Q = I²·X = 23²·8 = 4232 var
Відповідь
Q = 4232 var
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: cos φ = 0,8393
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = 8·tan(arccos 0,6) = 10,67 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·330·10⁻⁶ = 5484 var = 5,484 kvar
Q2 = 10,67 − 5,484 = 5,182 kvar
Нова повна потужність
S2 = √(8² + 5,182²) = 9,532 kVA
Новий коефіцієнт потужності
cos φ = P/S2 = 8/9,532 = 0,8393
Відповідь
cos φ = 0,8393
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 5,095 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = 415/√3 = 239,6 V
Фазний струм
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 239,6/13 = 18,43 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·18,43²·5 = 5,095 kW
Відповідь
P = 5,095 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,3846, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 114 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,7) = 50·1,02 = 51,01 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 29,71 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.