Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 15 V на 7,5 V на частоті 40 kHz при L = 150 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.
Vin = 15 VVo = 7,5 Vf = 40 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 9 V на −9 V для навантаження 25 Ω на частоті 200 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність Lcrit для режиму безперервних струмів.
Vin = 9 VVo = −9 Vf = 200 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.Двигуни постійного струмуСередня
Двигун постійного струму (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) працює від 240 V. При повному навантаженні він споживає 40 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − nFL)/nFL у відсотках.
V = 240 Vk = 0,75 V·s/radRa = 0,25 ΩIFL = 40 A
SR = %
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Двигун постійного струму з k = 0,1 V·s/rad і Ra = 0,4 Ω має приводити навантаження 0,4 N·m при 600 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.
k = 0,1 V·s/radRa = 0,4 ΩT = 0,4 N·mn = 600 rpm
V = V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Навантаження з повним опором Z = 8 + j6 Ω під’єднано до однофазної мережі 230 V (діюче значення). Знайдіть активну потужність P, яку воно споживає.
V = 230 VZ = 8 + j6 Ω
P = W
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V, 60 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть потрібну ємність C.
P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.Трифазні системиСередня
Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 30 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,9, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм IL.
Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0,9VL = 480 V
IL = A
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔIL = 0,625 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 7,5/15 = 0,5
Напруга на котушці під час увімкненого стану
Поки S увімкнений, котушка опиняється між Vin і Vo.
VL = 15 − 7,5 = 7,5 V
Струм пульсацій
ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,5·0,5/(150·10⁻⁶·40·10³) = 0,625 A
Відповідь
ΔIL = 0,625 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: Lcrit = 15,63 µH
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 9/(9 + 9) = 0,5
Умова на межі
Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
Критична індуктивність
Lcrit = (1 − 0,5)²·25/(2200·10³) = 15,63 µH
Відповідь
Lcrit = 15,63 µH
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: SR = 4,348 %
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні
n₀ = 60·240/(2π·0,75) = 3056 rpm
nFL = 60·(240 − 40·0,25)/(2π·0,75) = 2928 rpm
Регулювання швидкості
SR = (3056 − 2928)/2928·100 = 4,348 %
Відповідь
SR = 4,348 %
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: V = 7,883 V
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Зворотна ЕРС
E = 0,1·62,83 = 6,283 V
Струм якоря
Ia = 0,4/0,1 = 4 A
Напруга якоря
V = 6,283 + 4·0,4 = 7,883 V
Відповідь
V = 7,883 V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: P = 4232 W
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм
|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A
Активна потужність
P = I²·R = 23²·8 = 4232 W
Відповідь
P = 4232 W
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: C = 1717 µF
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(49,46°) = 58,46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25,84°) = 24,22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 34,24 kvar
Ємність
Конденсатор, підключений до мережі, постачає Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 34240/(2π·60·230²) = 1717 µF
Відповідь
C = 1717 µF
7.Трифазні системи
Відповідь: IL = 44,55 A
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Електрична вхідна потужність
Pin = Pout/η = 30/0,9 = 33,33 kW
Струм лінії
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·480·0,9) = 44,55 A
Відповідь
IL = 44,55 A
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 1786 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 96,61 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.