Силова електроніка та приводи: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

DC-DC перетворювачі

Знижувальний
Vo = D·Vin
Підвищувальний
Vo = Vin/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей
VinIin = VoIo
Пульсації струму котушки
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Середній струм котушки
знижувальний Io; підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io/(1 − D)
Пульсації виходу
знижувальний ΔIL/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів
знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

  1. Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
  2. Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
  3. Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

2Задачі для практики

1.DC-DC перетворювачіСередня
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 4,5 V для навантаження 8 Ω. Він комутується на частоті 20 kHz при L = 330 µH. Знайдіть піковий струм котушки Imax.

Vin​ = 9 VVo​ = 4,5 Vf = 20 kHzL = 330 µHR = 8 Ω
Imax = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
tiL​Imax​IL​DTT2T

Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на −24 V для навантаження 4 Ω на частоті 20 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність Lcrit для режиму безперервних струмів.

Vin​ = 24 VVo​ = −24 Vf = 20 kHzR = 4 Ω
Lcrit = µH
3.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Двигун постійного струму з k = 0,5 V·s/rad працює від 120 V. Нехтуючи всіма втратами на холостому ході, знайдіть його швидкість неробочого ходу n0 у rpm.

V = 120 Vk = 0,5 V·s/rad
n0 = rpm
4.Двигуни постійного струмуСкладна
+−48 VRa​ = 0,4 ΩIa​: 15 → 7,5 AM+−En = ?T

Двигун постійного струму незалежного збудження на 48 V (Ra = 0,4 Ω) обертається з 1440 rpm при струмі якоря 15 A. Навантаження змінюється, і струм стає 7,5 A, а поле не змінюється. Знайдіть нову швидкість n2.

V = 48 VRa = 0,4 Ωn1 = 1440 rpmIa1 = 15 AIa2 = 7,5 A
n2 = rpm
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 V127 kW, 0,7225 kW, 1I = ?

До однофазної мережі 240 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 27 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і нагрівач потужністю 25 kW (коефіцієнт потужності 1). Знайдіть загальний струм I, що споживається від мережі.

V = 240 VP1 = 27 kW, pf1 = 0,7 відстаючийP2 = 25 kW, pf2 = 1
I = A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P1​ = 57 kWQ1​S1​φ

Однофазний трансформатор потужністю 150 kVA живить навантаження 57 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

Smax = 150 kVAP1 = 57 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M18,5 kW, η = 90%cos φ = 0,84

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 18,5 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 90%, а коефіцієнт потужності 0,84, відстаючий. Лінійна напруга мережі 415 V. Знайдіть лінійний струм IL.

Pout = 18,5 kWη = 90%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
8.Трифазні системиСкладна
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 250 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 250 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Розчини

1.DC-DC перетворювачі

Відповідь: Imax = 0,733 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 4,5/9 = 0,5

Середній струм і пульсації струму

Io = 4,5/8 = 0,5625 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,5/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0,3409 A

Піковий струм

Imax = 0,5625 + 0,3409/2 = 0,733 A

Відповідь

Imax = 0,733 A
2.DC-DC перетворювачі

Відповідь: Lcrit = 25 µH

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 24/(24 + 24) = 0,5

Умова на межі

Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

Критична індуктивність

Lcrit = (1 − 0,5)²·4/(220·10³) = 25 µH

Відповідь

Lcrit = 25 µH
3.Двигуни постійного струму

Відповідь: n0 = 2292 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу

ω₀ = V/k = 120/0,5 = 240 rad/s
n0 = 60·240/(2π) = 2292 rpm

Відповідь

n0 = 2292 rpm
4.Двигуни постійного струму

Відповідь: n2 = 1543 rpm

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Зворотна ЕРС до і після

E1 = 48 − 15·0,4 = 42 V
E2 = 48 − 7,5·0,4 = 45 V

Нова швидкість

n2 = 1440·45/42 = 1543 rpm

Відповідь

n2 = 1543 rpm
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 245,2 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 27·tan(arccos 0,7) = 27,55 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Сумарні значення

P = 27 + 25 = 52 kW
Q = 27,55 + 0 = 27,55 kvar
S = √(52² + 27,55²) = 58,85 kVA

Загальний струм

I = S/V = 58845/240 = 245,2 A

Відповідь

I = 245,2 A
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 72,32 kW

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність наявного навантаження

Q1 = 57·tan(arccos 0,6) = 76 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 76²) = 129,3 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 129,3 − 57 = 72,32 kW

Відповідь

ΔP = 72,32 kW
7.Трифазні системи

Відповідь: IL = 34,04 A

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Електрична вхідна потужність

Pin = Pout/η = 18,5/0,9 = 20,56 kW

Струм лінії

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 20556/(√3·415·0,84) = 34,04 A

Відповідь

IL = 34,04 A
8.Трифазні системи

Відповідь: QC = 105,3 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,8) = 250·0,75 = 187,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 105,3 kvar

Відповідь

QC = 105,3 kvar

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics