Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 36 V на 25,2 V на частоті 25 kHz при L = 100 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.
Vin = 36 VVo = 25,2 Vf = 25 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
Знижувальний перетворювач перетворює 12 V на 6 V для навантаження 10 Ω на частоті 20 kHz при L = 220 µH і C = 470 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.
Двигун постійного струму віддає 11 kW механічної потужності при 1500 rpm. Знайдіть момент на валу T.
P = 11 kWn = 1500 rpm
T = N·m
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Малий двигун постійного струму має опір якоря 2,5 Ω і працює від 120 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.
V = 120 VRa = 2,5 Ω
Pmax = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Однофазний двигун споживає 27 kW при коефіцієнті потужності 0,9 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.
P = 27 kWpf = 0,9V = 230 V
Q = kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазне навантаження споживає 8 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 68 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.
P = 8 kWpf1 = 0,6V = 230 Vf = 50 HzC = 68 µF
cos φ =
7.Трифазні системиСередня
Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 9 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.
VL = 480 VZ = 9 + j12 Ω на фазу
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 75 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.
P = 75 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔIL = 3,024 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 25,2/36 = 0,7
Напруга на котушці під час увімкненого стану
Поки S увімкнений, котушка опиняється між Vin і Vo.
VL = 36 − 25,2 = 10,8 V
Струм пульсацій
ΔIL = VL·D/(L·f) = 10,8·0,7/(100·10⁻⁶·25·10³) = 3,024 A
Відповідь
ΔIL = 3,024 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔVo = 9,067 mV
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 6/12 = 0,5
Струм пульсацій котушки
ΔIL = (12 − 6)·0,5/(220·10⁻⁶·20·10³) = 0,6818 A
Пульсації виходу
ΔVo = 0,6818/(8·20·10³·470·10⁻⁶) = 9,067 mV
Відповідь
ΔVo = 9,067 mV
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: T = 70,03 N·m
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Швидкість у rad/s
ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
Крутний момент
T = P/ω = 11000/157,1 = 70,03 N·m
Відповідь
T = 70,03 N·m
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: Pmax = 1440 W
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Потужність як функція зворотної ЕРС
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Максимальна потужність
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·2,5) = 1440 W
Відповідь
Pmax = 1440 W
У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: Q = 13,08 kvar
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Кут
φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843
Реактивна потужність
Q = P·tan φ = 27·0,4843 = 13,08 kvar
Відповідь
Q = 13,08 kvar
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: cos φ = 0,6427
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.
Q1 = 8·tan(arccos 0,6) = 10,67 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·68·10⁻⁶ = 1130 var = 1,13 kvar
Q2 = 10,67 − 1,13 = 9,537 kvar
Нова повна потужність
S2 = √(8² + 9,537²) = 12,45 kVA
Новий коефіцієнт потужності
cos φ = P/S2 = 8/12,45 = 0,6427
Відповідь
cos φ = 0,6427
7.Трифазні системи
Відповідь: P = 27,65 kW
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазна напруга
Vph = VL = 480 V
Фазний струм
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 480/15 = 32 A
Сумарна активна потужність
Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.
P = 3·Iph²·R = 3·32²·9 = 27,65 kW
Відповідь
P = 27,65 kW
Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.
8.Трифазні системи
Відповідь: QC = 41,02 kvar
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.