Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.
Двигуни постійного струму
Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc
Метод
Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.
Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трифазні системи
З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η
2Задачі для практики
1.DC-DC перетворювачіСередня
Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 4,5 V на частоті 500 kHz при L = 10 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.
Vin = 9 VVo = 4,5 Vf = 500 kHzL = 10 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
Ідеальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 15 V на −22,5 V для навантаження 8 Ω на частоті 100 kHz. Вихідний конденсатор має 220 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.
Двигун постійного струму віддає 2,2 kW механічної потужності при 1500 rpm. Знайдіть момент на валу T.
P = 2,2 kWn = 1500 rpm
T = N·m
4.Двигуни постійного струмуСкладна
Малий двигун постійного струму має опір якоря 0,8 Ω і працює від 120 V. Нехтуючи втратами на обертання, знайдіть найбільшу механічну потужність Pmax, яку він може розвинути на будь-якій швидкості.
V = 120 VRa = 0,8 Ω
Pmax = W
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
Навантаження з повним опором Z = 12 + j16 Ω під’єднано до однофазної мережі 120 V (діюче значення). Знайдіть повну потужність S.
V = 120 VZ = 12 + j16 Ω
S = VA
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
Однофазний трансформатор потужністю 50 kVA живить навантаження 31 kW з коефіцієнтом потужності 0,85 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?
Smax = 50 kVAP1 = 31 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
7.Трифазні системиСередня
Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 30 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 92%, а коефіцієнт потужності 0,8, відстаючий. Лінійна напруга мережі 400 V. Знайдіть лінійний струм IL.
Pout = 30 kWη = 92%cos φ = 0,8VL = 400 V
IL = A
8.Трифазні системиСкладна
Симетричне трифазне навантаження споживає 75 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Розчини
1.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔIL = 0,45 A
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 4,5/9 = 0,5
Напруга на котушці під час увімкненого стану
Поки S увімкнений, котушка опиняється між Vin і Vo.
VL = 9 − 4,5 = 4,5 V
Струм пульсацій
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,5/(10·10⁻⁶·500·10³) = 0,45 A
Відповідь
ΔIL = 0,45 A
2.DC-DC перетворювачі
Відповідь: ΔVo = 76,7 mV
DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.
Коефіцієнт заповнення
D = 22,5/(15 + 22,5) = 0,6
Струм навантаження
Io = 22,5/8 = 2,812 A
Пульсації виходу
ΔVo = 2,812·0,6/(100·10³·220·10⁻⁶) = 76,7 mV
Відповідь
ΔVo = 76,7 mV
3.Двигуни постійного струму
Відповідь: T = 14,01 N·m
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Швидкість у rad/s
ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
Крутний момент
T = P/ω = 2200/157,1 = 14,01 N·m
Відповідь
T = 14,01 N·m
4.Двигуни постійного струму
Відповідь: Pmax = 4500 W
Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.
Потужність як функція зворотної ЕРС
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Максимальна потужність
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·0,8) = 4500 W
Відповідь
Pmax = 4500 W
У цій точці ККД становить лише 50 %, тож реальні двигуни працюють значно вище половини швидкості.
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: S = 720 VA
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Струм
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
I = V/|Z| = 120/20 = 6 A
Повна потужність
S = V·I = 120·6 = 720 VA
Відповідь
S = 720 VA
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності
Відповідь: ΔP = 15,16 kW
Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.
Реактивна потужність наявного навантаження
Q1 = 31·tan(arccos 0,85) = 19,21 kvar
Найбільша сумарна активна потужність
За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.
P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 19,21²) = 46,16 kW
Додаткова активна потужність
ΔP = 46,16 − 31 = 15,16 kW
Відповідь
ΔP = 15,16 kW
7.Трифазні системи
Відповідь: IL = 58,83 A
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Електрична вхідна потужність
Pin = Pout/η = 30/0,92 = 32,61 kW
Струм лінії
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 32609/(√3·400·0,8) = 58,83 A
Відповідь
IL = 58,83 A
8.Трифазні системи
Відповідь: Cph = 95,38 µF
Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.
Реактивна потужність до і після
Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,65) = 75·1,169 = 87,68 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar
Реактивна потужність від конденсаторів
QC = Q1 − Q2 = 51,36 kvar
Ємність на фазу
У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.