Силова електроніка та приводи: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

DC-DC перетворювачі

Знижувальний
Vo = D·Vin
Підвищувальний
Vo = Vin/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей
VinIin = VoIo
Пульсації струму котушки
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Середній струм котушки
знижувальний Io; підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io/(1 − D)
Пульсації виходу
знижувальний ΔIL/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний Io·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів
знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

  1. Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
  2. Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
  3. Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔIL/2.

Двигуни постійного струму

Коло якоря
V = E + IaRa
Зворотна ЕРС і момент
E = k·ω, T = k·Ia
Швидкість
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Швидкість неробочого ходу й стопорний момент
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Потужності
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулювання швидкості
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальна розвинена потужність
Pmax = V²/(4Ra)
Привід із чопером
Va = D·Vdc

Метод

  1. Накресліть коло якоря: джерело V, опір Ra і зворотна ЕРС E послідовно.
  2. Скористайтеся V = E + Ia·Ra, щоб зв’язати напругу, струм і зворотну ЕРС.
  3. Використовуйте E = k·ω для швидкості й T = k·Ia для моменту, де ω = 2π·n/60.
  4. Для потужності та ККД почніть із V·Ia, відніміть втрати в міді Ia²·Ra, а потім втрати на обертання.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

2Задачі для практики

1.DC-DC перетворювачіСередня
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 4,5 V на частоті 25 kHz при L = 33 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔIL.

Vin​ = 9 VVo​ = 4,5 Vf = 25 kHzL = 33 µH
ΔIL = A
2.DC-DC перетворювачіСкладна
+−9 VLSC = 220 µFR = 50 Ω+−36 V

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 9 V на 36 V для навантаження 50 Ω на частоті 100 kHz. Вихідний конденсатор має 220 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔVo у mV.

Vin​ = 9 VVo​ = 36 Vf = 100 kHzC = 220 µFR = 50 Ω
ΔVo = mV
3.Двигуни постійного струмуСередня
T (N·m)n (rpm)0,9 N·mn0​nFL​

Двигун постійного струму (k = 0,15 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) працює від 24 V. При повному навантаженні він споживає 6 A. Нехтуючи струмом неробочого ходу, знайдіть його регулювання швидкості SR = (n₀ − nFL)/nFL у відсотках.

V = 24 Vk = 0,15 V·s/radRa = 0,5 ΩIFL = 6 A
SR = %
4.Двигуни постійного струмуСкладна
T (N·m)n (rpm)2,4 N·m1200 rpm

Двигун постійного струму з k = 0,4 V·s/rad і Ra = 1 Ω має приводити навантаження 2,4 N·m при 1200 rpm. Знайдіть потрібну напругу якоря V.

k = 0,4 V·s/radRa = 1 ΩT = 2,4 N·mn = 1200 rpm
V = V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
400 V13 kW, 0,7225 kW, 0,95I

До однофазної мережі 400 V паралельно під’єднано два навантаження: навантаження 3 kW з коефіцієнтом потужності 0,7 (індуктивним) і навантаження 25 kW з коефіцієнтом потужності 0,95 (ємнісним). Знайдіть загальний коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

V = 400 VP1 = 3 kW, pf1 = 0,7 відстаючийP2 = 25 kW, pf2 = 0,95 ємнісний
cos φ =
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
230 V50 Hzнавантаження14 kW, 0,6C470 µFI

Однофазне навантаження споживає 14 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 470 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 14 kWpf1 = 0,6V = 230 Vf = 50 HzC = 470 µF
cos φ =
7.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 415 VNZ = 6 + j8 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 6 + j8 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 415 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 415 VZ = 6 + j8 Ω на фазу
P = kW
8.Трифазні системиСкладна
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 300 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 300 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Розчини

1.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔIL = 2,727 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 4,5/9 = 0,5

Напруга на котушці під час увімкненого стану

Поки S увімкнений, котушка опиняється між Vin і Vo.

VL = 9 − 4,5 = 4,5 V

Струм пульсацій

ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,5/(33·10⁻⁶·25·10³) = 2,727 A

Відповідь

ΔIL = 2,727 A
2.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔVo = 24,55 mV

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний Vo = D·Vin, підвищувальний Vo = Vin/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |Vo| = Vin·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: Vin·Iin = Vo·Io. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔIL = VL·D·T/L, де VL = Vin − Vo для знижувального й Vin для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔVo = ΔIL/(8fC) для знижувального й Io·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔIL/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 9/36 = 0,75

Струм навантаження

Io = 36/50 = 0,72 A

Пульсації виходу

ΔVo = 0,72·0,75/(100·10³·220·10⁻⁶) = 24,55 mV

Відповідь

ΔVo = 24,55 mV
3.Двигуни постійного струму

Відповідь: SR = 14,29 %

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Швидкість неробочого ходу та при повному навантаженні

n₀ = 60·24/(2π·0,15) = 1528 rpm
nFL = 60·(24 − 6·0,5)/(2π·0,15) = 1337 rpm

Регулювання швидкості

SR = (1528 − 1337)/1337·100 = 14,29 %

Відповідь

SR = 14,29 %
4.Двигуни постійного струму

Відповідь: V = 56,27 V

Двигун постійного струму: якір — це опір Ra, увімкнений послідовно із зворотною ЕРС E, тож V = E + Ia·Ra. Зворотна ЕРС зростає зі швидкістю, E = k·ω, а момент — зі струмом, T = k·Ia, з однаковою константою двигуна k (V·s/rad = N·m/A) в одиницях SI. Швидкості переводьте за формулою ω = 2π·n/60. Розвинена потужність дорівнює E·Ia = T·ω; споживана потужність — V·Ia, а різницю становлять втрати в міді Ia²Ra та втрати на обертання. Швидкість спадає за прямою лінією зі збільшенням моменту, ω = V/k − Ra·T/k², від швидкості неробочого ходу V/k до нуля при стопорному моменті k·V/Ra. У стані спокою E = 0, тож пусковий струм V/Ra великий, якщо його не обмежує резистор.

Зворотна ЕРС

E = 0,4·125,7 = 50,27 V

Струм якоря

Ia = 2,4/0,4 = 6 A

Напруга якоря

V = 50,27 + 6·1 = 56,27 V

Відповідь

V = 56,27 V
5.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,9835

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність кожного навантаження

Індуктивне навантаження споживає реактивну потужність (Q > 0); ємнісне — віддає її (Q < 0).

Q1 = 3·tan(arccos 0,7) = 3,061 kvar
Q2 = −25·tan(arccos 0,95) = −8,217 kvar

Сумарні значення

P = 3 + 25 = 28 kW
Q = 3,061 + (−8,217) = −5,156 kvar
S = √(28² + (−5,156)²) = 28,47 kVA

Загальний коефіцієнт потужності

cos φ = P/S = 28/28,47 = 0,9835 ємнісний

Відповідь

cos φ = 0,9835
6.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7903

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = 14·tan(arccos 0,6) = 18,67 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·470·10⁻⁶ = 7811 var = 7,811 kvar
Q2 = 18,67 − 7,811 = 10,86 kvar

Нова повна потужність

S2 = √(14² + 10,86²) = 17,72 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S2 = 14/17,72 = 0,7903

Відповідь

cos φ = 0,7903
7.Трифазні системи

Відповідь: P = 10,33 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = 415/√3 = 239,6 V

Фазний струм

|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 239,6/10 = 23,96 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·23,96²·6 = 10,33 kW

Відповідь

P = 10,33 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

8.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 489,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0,78) = 300·0,8023 = 240,7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 95,39 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31796/(377·415²) = 489,7 µF

Відповідь

Cph = 489,7 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-electronics